Каково решение неравенства [tex]0,5log_{6-x} (9-6x+x^{2} ) + 9log_{x-3} (9x-x^{2} -18) leq 3[/tex]?

Хорошо, давайте решим данное неравенство пошагово. Для начала, давайте упростим выражение внутри логарифмов. У нас есть неравенство:

\[0,5\log_{6-x}(9-6x+x^{2}) + 9\log_{x-3}(9x-x^{2}-18) \leq 3\]

Давайте посмотрим на первое слагаемое. Мы можем записать \[\log_{a}b=c\] в эквивалентной форме как \[a^c = b\]. Таким образом, можем записать \[\log_{6-x}(9-6x+x^{2}) = 0,5 \Rightarrow (6-x)^{0,5} = 9-6x+x^{2}\].

Для второго слагаемого мы можем записать \[\log_{x-3}(9x-x^{2}-18) = \frac{\log_{10}(9x-x^{2}-18)}{\log_{10}(x-3)}\]. Теперь, перейдем к следующему шагу.

Для первого слагаемого возводим обе части уравнения в квадрат: \[(6-x)^{0,5} = 9-6x+x^{2} \Rightarrow (6-x) = (9-6x+x^{2})^{2}\].
Раскроем квадрат в правой части уравнения и приведем подобные члены: \[(6-x) = (81 -108x + 36x^2 - 54x + 36x^2 - 12x^3 +x^4)\] \[\Rightarrow 0 = x^4 -12x^3 + 72x^2 -150x +45\]. Это квадратное уравнение.

Теперь, рассмотрим второе слагаемое и заметим, что нижний логарифм не может быть равен 1, так как это привело бы к неопределенности. То есть, мы должны обеспечить, чтобы знаменатель логарифма \((x - 3)\) был больше 1. Таким образом, у нас имеется ограничение \(x > 3\).

Оба шага, показанные выше, являются достаточно сложными и могут потребовать использования графиков или численных методов для получения точных значений \(x\). Однако, я могу предоставить вам эту информацию и помочь проиллюстрировать процесс, если вам нужно получить конкретные значения \(x\).

Пожалуйста, сообщите мне, какие конкретные значения \(x\) вы хотели бы получить или если у вас есть еще какие-либо вопросы.