Каково решение для неравенства log5(50 - 25x) > log5(x2 - 8x +12) +log5 (x+4)?

Для решения данного неравенства, нам потребуется использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте решим его пошагово.

1. Начнем с упрощения выражений внутри логарифмов.
Для этого применим свойство логарифма "сумма" и свойство логарифма "произведение":

\[\log_5(50 - 25x)\]
\[= \log_5[(x+2)(x+6)]\]
\[= \log_5(x+2) + \log_5(x+6)\]

Теперь неравенство примет вид:

\[\log_5(x+2) + \log_5(x+6) > \log_5(x^2 - 8x + 12) + \log_5(x+4)\]

2. Применим свойство логарифма "сумма" и перенесем все выражения справа налево:

\[\log_5(x+2) + \log_5(x+6) - \log_5(x^2 - 8x + 12) - \log_5(x+4) > 0\]

3. С помощью свойств логарифмов, объединим первые два логарифма, а также последние два логарифма:

\[\log_5[(x+2)(x+6)/(x^2 - 8x + 12)(x+4)] > 0\]

4. Для удобства дальнейшего рассмотрения, перепишем первый логарифм в виде степени числа 5:

\[(x+2)(x+6)/(x^2 - 8x + 12)(x+4) > 5^0\]

Используя свойство \(5^0 = 1\), получаем:

\[(x+2)(x+6)/(x^2 - 8x + 12)(x+4) > 1 \]

5. Умножим обе части неравенства на знаменатель дроби, чтобы избавиться от дробных выражений:

\[(x+2)(x+6) > (x^2 - 8x + 12)(x+4) \]

6. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[x^2 + 8x + 12 > x^3 + 4x^2 - 8x + 48 \]

\[0 > x^3 + 3x^2 - 16 \]

7. Перепишем неравенство в виде кубического уравнения:

\[x^3 + 3x^2 - 16 < 0 \]

8. Найдем корни этого уравнения:

Для этого воспользуемся графиком функции y = x^3 + 3x^2 - 16 и методом интервалов знакопостоянства.

Начнем с рассмотрения знака y для малых значений x, например x = -2.
Получим:
\(2^3 + 3(-2)^2 - 16 = -9 < 0\).

Затем рассмотрим знак y для больших значений x, например x = 2.
Получим:
\(2^3 + 3(2)^2 - 16 = 4 > 0\).

Из этого можно сделать вывод, что y меняет свой знак в точке x = -2.

Следовательно, корни уравнения находятся в интервалах (-∞, -2), (-2, +∞).

9. Итак, мы получили неравенство \(x^3 + 3x^2 - 16 < 0\), которое верно на интервалах (-∞, -2), (-2, +∞). Таким образом, решением исходного неравенства будет множество всех x, принадлежащих интервалам (-∞, -2), (-2, +∞).

Ответ: Решением неравенства \(\log_5(50 - 25x) > \log_5(x^2 - 8x +12) +\log_5 (x+4)\) является множество всех значений x, принадлежащих интервалам (-∞, -2), (-2, +∞).