Каково решение для неравенства log5(50 - 25x) > log5(x2 - 8x +12) +log5 (x+4)?

Для решения данного неравенства, нам потребуется использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте решим его пошагово.

1. Начнем с упрощения выражений внутри логарифмов.
Для этого применим свойство логарифма "сумма" и свойство логарифма "произведение":

$${\log }_5(50-25x)$$
$$={\log }_5[(x+2)(x+6)]$$
$$={\log }_5(x+2)+{\log }_5(x+6)$$

Теперь неравенство примет вид:

$${\log }_5(x+2)+{\log }_5(x+6)>{\log }_5(x^2-8x+12)+{\log }_5(x+4)$$

2. Применим свойство логарифма "сумма" и перенесем все выражения справа налево:

$${\log }_5(x+2)+{\log }_5(x+6)-{\log }_5(x^2-8x+12)-{\log }_5(x+4)>0$$

3. С помощью свойств логарифмов, объединим первые два логарифма, а также последние два логарифма:

$${\log }_5[(x+2)(x+6)/(x^2-8x+12)(x+4)]>0$$

4. Для удобства дальнейшего рассмотрения, перепишем первый логарифм в виде степени числа 5:

$$(x+2)(x+6)/(x^2-8x+12)(x+4)>5^0$$

Используя свойство $5^0=1$, получаем:

$$(x+2)(x+6)/(x^2-8x+12)(x+4)>1$$

5. Умножим обе части неравенства на знаменатель дроби, чтобы избавиться от дробных выражений:

$$(x+2)(x+6)>(x^2-8x+12)(x+4)$$

6. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$x^2+8x+12>x^3+4x^2-8x+48$$

$$0>x^3+3x^2-16$$

7. Перепишем неравенство в виде кубического уравнения:

$$x^3+3x^2-16<0$$

8. Найдем корни этого уравнения:

Для этого воспользуемся графиком функции y = x^3 + 3x^2 - 16 и методом интервалов знакопостоянства.

Начнем с рассмотрения знака y для малых значений x, например x = -2.
Получим:
$2^3+3(-2{)}^2-16=-9<0$.

Затем рассмотрим знак y для больших значений x, например x = 2.
Получим:
$2^3+3(2{)}^2-16=4>0$.

Из этого можно сделать вывод, что y меняет свой знак в точке x = -2.

Следовательно, корни уравнения находятся в интервалах (-∞, -2), (-2, +∞).

9. Итак, мы получили неравенство $x^3+3x^2-16<0$, которое верно на интервалах (-∞, -2), (-2, +∞). Таким образом, решением исходного неравенства будет множество всех x, принадлежащих интервалам (-∞, -2), (-2, +∞).

Ответ: Решением неравенства ${\log }_5(50-25x)>{\log }_5(x^2-8x+12)+{\log }_5(x+4)$ является множество всех значений x, принадлежащих интервалам (-∞, -2), (-2, +∞).