Каково расстояние от точки A1 до плоскости, в которую входят точки C, B1 и D1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным

В данной задаче у нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, обозначим его длиной \(a\). Известно, что точки C, B1 и D1 лежат в одной плоскости, и мы хотим найти расстояние от точки A1 до этой плоскости.

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Где (x0, y0, z0) - координаты заданной точки, A, B, C - коэффициенты плоскости, D - свободный член.

Для начала, нам необходимо найти коэффициенты плоскости. Мы знаем, что точки C, B1 и D1 лежат в этой плоскости. Для нахождения коэффициентов, мы можем воспользоваться формулой плоскости через три точки:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

Подставим координаты точек C, B1 и D1 в данную формулу и найдем коэффициенты:

Для точки C с координатами (x1, y1, z1):
\[Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0\]
\[Aa + Ba + Ca + D = 0\]

Для точки B1 с координатами (x2, y2, z2):
\[Ax_2 + By_2 + Cz_2 + D = 0\]
\[Aa + 0 + Ca + D = 0\]

Для точки D1 с координатами (x3, y3, z3):
\[Ax_3 + By_3 + Cz_3 + D = 0\]
\[Aa + Ba + 0 + D = 0\]

Из полученной системы уравнений мы можем выразить коэффициенты A, B, C и D:

\[3Aa + Ba + Ca + 3D = 0 \quad (1)\]
\[Aa + Ca + D = 0 \quad (2)\]
\[Aa + Ba + D = 0 \quad (3)\]
\[Aa + Ba + 0 + D = 0 \quad (4)\]

Мы видим, что у нас можно выразить коэффициент A из уравнений (2), (3) и (4):

\[A = -\frac{D}{a}\]

Подставим выражение для A в уравнения (1) и (3), чтобы найти коэффициенты B, C и D:

\[-3\frac{D}{a}a + Ba + Ca + 3D = 0\]
\[-3D + Ba + Ca + 3D = 0\]
\[Ba + Ca = 0\]
\[(B + C)a = 0\]

Отсюда мы можем сделать вывод, что B + C = 0. Значит, B = -C. Подставим это в уравнение (3):

\[Aa - Ca + D = 0\]
\[-\frac{D}{a}a - Ca + D = 0\]
\[-D - Ca + D = 0\]
\[-Ca = 0\]

Из этого уравнения получаем, что C = 0. Теперь мы знаем коэффициенты A, B и C:

A = -\frac{D}{a}, B = -C, C = 0

Подставим эти значения в формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|-\frac{D}{a} \cdot x_0 - \frac{D}{a} \cdot y_0|} {\sqrt{\left(-\frac{D}{a}\right)^2 + \left(-\frac{D}{a}\right)^2 + 0^2}} = \frac{|-\frac{D}{a} \cdot (x_0 + y_0)|} {\sqrt{2\left(\frac{D}{a}\right)^2}} =\]


+\frac{D}{a} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{D^2} \cdot (x_0 + y_0)^2} = \frac{|x_0 + y_0| \cdot a}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, расстояние от точки A1 до плоскости, в которую входят точки C, B1 и D1, в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным \(a\), равно \(\frac{|x_0 + y_0| \cdot a}{\sqrt{2}}\).