Каково расстояние от точки А до плоскости, если известны координаты точек А(8;20;-11) и В(4,2;1;12)?

Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости, мы можем использовать формулу, которую можно найти в геометрии. Назовем точку A(x1, y1, z1) и точку B(x2, y2, z2). Плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а (x, y, z) - произвольная точка в плоскости. Тогда расстояние от точки A до плоскости вычисляется следующим образом:

$$d=\frac{Ax1+By1+Cz1+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Для нашей задачи у нас есть точка A(8, 20, -11) и точка B(4, 2, 12). Нет информации о плоскости, поэтому мы должны найти уравнение плоскости на основе предоставленных данных. Одним из способов найти уравнение плоскости является использование трех точек в плоскости.

Мы знаем, что точка B находится в плоскости, поэтому мы можем использовать точку B и вектор AB для определения нормального вектора плоскости.

Вектор AB можно найти вычитанием координат точек B и A:

$$AB=B-A=(4-8,2-20,12-(-11))=(-4,-18,23)$$

Таким образом, у нас есть нормальный вектор плоскости, равный (-4, -18, 23).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости, используя точку A и нормальный вектор:

$$-4x-18y+23z+D=0$$

Для определения коэффициента D в уравнении плоскости, нам нужно подставить координаты точки A:

$$-4(8)-18(20)+23(-11)+D=0$$

Подсчитав это выражение, получаем:

$$-32-360-253+D=0$$

$$D=645$$

Теперь, имея коэффициенты A, B, C и D, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$d=\frac{-4(8)-18(20)+23(-11)+645}{\sqrt{(-4{)}^2+(-18{)}^2+{23}^2}}$$

$$\approx \frac{-32-360-253+645}{\sqrt{16+324+529}}$$

$$\approx \frac{-584}{\sqrt{869}}$$

$$d\approx -19.82$$

Итак, расстояние от точки A(8, 20, -11) до плоскости составляет примерно -19.82. Чтобы сделать ответ положительным, мы можем взять абсолютное значение и округлить до двух десятичных знаков, что примерно равно 19.82.