Каково расстояние от точки (1; 0) на параболе y^2=4x-4 до линии директрисы?

Для решения этой задачи мы должны использовать свойства параболы и геометрический подход. Давайте начнем с того, что определим формулу для параболы, а затем найдем координаты вершины и фокуса параболы.

Уравнение параболы дано в канонической форме \(y^2 = 4px\), где фокус параболы находится на расстоянии \(p\) от вершины и параллелен оси \(x\). В нашем случае, поскольку директриса находится слева от параболы, мы имеем отрицательное значение \(p\).

Из уравнения параболы \(y^2 = 4x - 4\) мы можем сравнить его с канонической формой и определить \(p = -1\).

Теперь нам нужно найти координаты вершины параболы. В общем случае вершина находится в точке \((h, k)\), где \(h = -\frac{p}{2}\) и \(k = 0\) для параболы с вертикальной осью.

Подставив значение \(p = -1\), мы можем найти вершину параболы: \(h = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}\) и \(k = 0\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь нам нужно найти координаты фокуса параболы. Фокусная дистанция обозначается как \(f = |p|\), и фокус находится в точке \((h - f, k)\).

Подставив значение \(p = -1\), мы можем найти фокус параболы: \(f = |-1| = 1\) и фокус находится в точке \(\left(\frac{1}{2} - 1, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь мы можем приступить к вычислению расстояния от точки \((1, 0)\) до линии директрисы. Расстояние между точкой и прямой можно найти с помощью следующей формулы:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В нашем случае уравнение прямой, которая является директрисой параболы, имеет вид \(x = -p\). Здесь \(A = 1\), \(B = 0\) и \(C = -p\). Подставляя значения, получаем:

\[d = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1/2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, расстояние от точки \((1, 0)\) на параболе \(y^2 = 4x - 4\) до линии директрисы составляет \(\frac{3}{2}\) единицы.