Каково расстояние от середины ребра PA до плоскости в правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной P и стороной

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале визуализируем ситуацию для более ясного понимания. У нас есть правильная четырехугольная пирамида PABCD, где P - вершина пирамиды, а ABCD - основание. Пусть M - середина ребра PA. Мы хотим найти расстояние от точки M до плоскости ABCD.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды

Для начала, давайте найдем высоту пирамиды PABCD. В правильной пирамиде, высота проходит через вершину P и перпендикулярна плоскости ABCD. Расстояние от точки P до плоскости ABCD будет нашей искомой высотой.

Так как ABCD - правильный четырехугольник, каждая его сторона равна другой и образует угол равный 90 градусов. Теперь построим вертикальную линию от точки P, перпендикулярную плоскости ABCD, и обозначим точку пересечения как H.

Шаг 2: Расстояние от середины ребра PA до плоскости

Теперь давайте обозначим середину ребра PA - точку M. Нашей задачей является определение расстояния от точки M до плоскости ABCD. Поскольку отрезок MH - это вертикальная линия, перпендикулярная плоскости ABCD, расстояние от точки M до плоскости ABCD будет равно длине отрезка MH.

Шаг 3: Найдем длину отрезка MH

Поскольку ABCD - правильный четырехугольник, то точка H - это центр основания ABCD и, следовательно, H - середина сторон основания ABCD.

Так как сторона основания ABCD равна 5√2, длина отрезка AH (и HB) будет равна половине длины стороны основания, то есть 5√2/2 = (5/2)√2.

Теперь, чтобы найти длину отрезка MH, нам нужно найти разность длин отрезков HA и MA. Так как точка M - середина ребра PA, длина отрезка MA будет равна половине длины ребра PA.

Поскольку длина ребра PA равна длине стороны основания ABCD, то длина ребра PA будет равна 5√2.

Таким образом, длина отрезка MA равна (5√2)/2 = (5/2)√2.

Теперь мы можем найти длину отрезка MH, вычтя длину отрезка MA из длины отрезка HA:

\[
MH = HA - MA = \left(\frac{5}{2}\right)\sqrt{2} - \left(\frac{5}{2}\right)\sqrt{2} = 0
\]

Таким образом, расстояние от середины ребра PA до плоскости ABCD равно 0.

Итак, мы получили, что расстояние от середины ребра PA до плоскости ABCD в правильной четырехугольной пирамиде с вершиной P и стороной основания, равной 5√2, равно 0.