Каково расстояние между точкой B(2;4;5) и плоскостью, проходящей через точку M(2;-1;-2) и перпендикулярной вектору

Чтобы найти расстояние между точкой B(2;4;5) и плоскостью, проходящей через точку M(2;-1;-2) и перпендикулярной вектору \(\mathbf{n} = -4\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\), воспользуемся формулой для вычисления расстояния между точкой и плоскостью.

Пусть точка A(x,y,z) - произвольная точка на плоскости.

Тогда вектор \(\vec{AM}\), направленный от точки A к точке M, будет равен \(\vec{AM} = \begin{pmatrix} x - 2\\ y + 1\\ z + 2\\ \end{pmatrix}\).

Учитывая, что плоскость проходит через точку M и перпендикулярна вектору \(\mathbf{n}\), вектор \(\vec{AM}\) должен быть перпендикулярен вектору \(\mathbf{n}\). Это означает, что скалярное произведение векторов \(\vec{AM}\) и \(\mathbf{n}\) равно нулю:

\(\vec{AM} \cdot \mathbf{n} = (x - 2)(-4) + (y + 1)(12) + (z + 2)(-3) = 0\).

Выполним умножение векторов:

\((-4x + 8) + (12y + 12) + (-3z - 6) = 0\).

Раскроем скобки:

\(-4x + 12y - 3z + 14 = 0\).

Теперь мы получили условие, которому должны удовлетворять координаты точки на плоскости.

Для того чтобы найти расстояние между точкой B и плоскостью, подставим координаты точки B в уравнение плоскости:

\(-4 \cdot 2 + 12 \cdot 4 - 3 \cdot 5 + 14 = -8 + 48 - 15 + 14 = 39\).

Получили значение 39.

Таким образом, расстояние между точкой B(2;4;5) и плоскостью, проходящей через точку M(2;-1;-2) и перпендикулярной вектору \(\mathbf{n} = -4\mathbf{i} + 12\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\), равно 39.