Каково расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5, 5 и 3, с его боковыми

Чтобы найти расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, и его боковыми сторонами, воспользуемся теоремой о трёх касательных.

Теорема о трёх касательных гласит, что если окружность вписана в треугольник, то точки касания окружности с его сторонами делят каждую из сторон на отрезки, пропорциональные длинам соседних сторон треугольника.

В данном случае имеем треугольник со сторонами 5, 5 и 3. Пусть точка касания окружности с стороной, длина которой равна 5, обозначается как A, а точка касания окружности с другой стороной длиной 5 обозначается как B. Третья точка треугольника, которая не касается окружности, обозначается как C.

Так как стороны треугольника равны 5, 5 и 3, мы можем выразить пропорцию следующим образом:

\(\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BA} = \frac{5}{3}\)

Теперь обратимся к геометрическому свойству вписанного угла и окружности. Мы знаем, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны друг другу. Из этого следует, что треугольники CAB и CBA - равнобедренные треугольники.

Так как треугольник CAB - равнобедренный, то точка, находящаяся на оси симметрии по отношению к основанию треугольника (то есть на срединном перпендикуляре к основанию), будет находиться на одинаковом расстоянии от точек касания окружности. Следовательно, расстояние между точками касания окружности и боковыми сторонами будет равно половине базы треугольника CO.

Обозначим расстояние между точками касания окружности и стороной, длина которой равна 5, как \(x\). Тогда расстояние между точками касания окружности и другой стороной длиной 5 будет также \(x\). Также имеем:

\(CO = 3 - x - x = 3 - 2x\)

Далее, применяем теорему Пифагора к треугольнику CBO:

\(CO^2 = CB^2 - BO^2 = 5^2 - x^2\)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\):

\((3 - 2x)^2 = 5^2 - x^2\)

Раскроем скобки:

\(9 - 12x + 4x^2 = 25 - x^2\)

Соберём все слагаемые на одной стороне и упростим уравнение:

\(5x^2 - 12x - 16 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

Для уравнения \(5x^2 - 12x -16 = 0\) имеем \(a = 5\), \(b = -12\), \(c = -16\):

\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 144 + 320 = 464\)

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{464}}{10}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{464}}{10}\)

Теперь, чтобы найти расстояние между точками касания окружности и боковыми сторонами, нам нужно вычислить половину основания треугольника:

\(x_1 = \frac{12 + \sqrt{464}}{10}\), \(x_2 = \frac{12 - \sqrt{464}}{10}\)

\(CO = 3 - 2x_1 = 1 - \frac{2(12 + \sqrt{464})}{10}\), \(CO = 3 - 2x_2 = 1 - \frac{2(12 - \sqrt{464})}{10}\)

Таким образом, расстояние между точками касания окружности и боковыми сторонами будет равно одному из следующих значений:

\(CO_1 = 1 - \frac{12 + \sqrt{464}}{5}\), \(CO_2 = 1 - \frac{12 - \sqrt{464}}{5}\)

Это максимально подробный ответ с указанием шагов решения. Мы использовали теоремы о трёх касательных, о вписанном угле и окружности, а также формулу дискриминанта для решения задачи. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!