Каково расстояние между точками B и K в прямоугольных трапециях ABCD и KDCM, если плоскости этих трапеций взаимно

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Нарисуем чертеж прямоугольных трапеций ABCD и KDCM с заданными размерами:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & B & \\
& & \cdot & & \cdot & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& & | & & | & \\
& & D & - - - - - - & C & \\
& & \cdot & & \cdot & \\
& & K & & M
\end{array}
\]

2. Обозначим точки соответствующими буквами: B, C, D, K, M.
3. Поскольку плоскости трапеций взаимно перпендикулярны, отрезок DC будет перпендикулярен отрезку BM. Обозначим точку пересечения этих отрезков как точку X.
4. Так как BC = DK = 3 см, а DC = 4 см, то площадь прямоугольного треугольника DBC равна:

\[
S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, \text{см}^2
\]

5. Также, площадь прямоугольного треугольника DCM равна:

\[
S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \, \text{см}^2
\]

6. Общая площадь трапеции KDCM равна сумме площадей треугольников DBC и DCM:

\[
S_{KDCM} = S_{DBC} + S_{DCM} = 6 + 6 = 12 \, \text{см}^2
\]

7. Для нахождения расстояния между точками B и K в трапециях ABCD и KDCM воспользуемся формулой площади трапеции:

\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h_{ABCD}
\]

где AB и CD - основания трапеции, а \(h_{ABCD}\) - высота трапеции.

8. Подставляя известные значения, получаем:

\[
6 = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h_{ABCD}
\]

\[
12 = (AB + CD) \cdot h_{ABCD}
\]

9. Из заданных условий следует, что BC = DK = 3 см. Значит, AB = DC - BC = 4 - 3 = 1 см.

10. Подставляя найденное значение AB, получаем:

\[
12 = (1 + CD) \cdot h_{ABCD}
\]

11. Поскольку плоскости трапеций взаимно перпендикулярны, то высота трапеций будет равна радиусу окружности, проходящей через точку X.

12. Для нахождения CD и высоты трапеции воспользуемся теоремой Пифагора.
13. Отрезок CD - это гипотенуза треугольника DBC, а отрезок BC - это один из катетов. Зная значения катета и гипотенузы, можем найти второй катет (CD):

\[
CD = \sqrt{{BC}^2 + {DC}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, \text{см}
\]

14. Подставляя найденное значение CD, получаем:

\[
12 = (1 + 5) \cdot h_{ABCD}
\]

\[
12 = 6 \cdot h_{ABCD}
\]

\[
h_{ABCD} = \frac{12}{6} = 2 \, \text{см}
\]

15. Таким образом, высота трапеции ABCD равна 2 см.

16. Используя формулу для площади трапеции, можно найти второе основание:

\[
6 = \frac{1}{2} \cdot (1 + CD) \cdot 2
\]

\[
12 = (1 + CD)
\]

\[
CD = 11 \, \text{см}
\]

17. Мы нашли значение CD равное 11 см.

18. Теперь, чтобы найти расстояние между точками B и K, нужно вычесть длину отрезка BC из длины отрезка DK:

\[
BK = DK - BC = 3 - 3 = 0 \, \text{см}
\]

19. Расстояние между точками B и K равно 0 см.

Таким образом, расстояние между точками B и K в прямоугольных трапециях ABCD и KDCM равно 0 см.