Каково расстояние между центром сферы и линией пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей, при условии

Для решения этой задачи нам потребуется немного геометрии и алгебры. Давайте начнем!

Предположим, у нас есть две взаимно перпендикулярные плоскости, назовем их плоскость A и плоскость B. Допустим, что линия их пересечения называется линией CD.

Также у нас есть сфера, которая касается и плоскости A, и плоскости B. Пусть O - центр сферы, а R - радиус этой сферы.

Мы хотим найти расстояние между центром сферы O и линией пересечения CD.

Давайте приступим к решению этой задачи.

1. Найдем расстояние между линией CD и центром сферы O в плоскости A.

Для этого возьмем точку P на линии CD и проведем перпендикуляр из точки P к плоскости A. Пусть это будет отрезок PM.

Так как сфера касается плоскости A, то радиус сферы R будет перпендикулярен плоскости A в точке M (точке касания сферы и плоскости A).

Таким образом, точка M будет лежать на линии, проходящей через O и перпендикулярной плоскости A. Обозначим эту линию OM.

Расстояние между CD и O в плоскости A будет равно длине отрезка OM.

2. Теперь найдем расстояние между линией CD и центром сферы O в плоскости B.

Аналогично предыдущему шагу, возьмем точку P на линии CD и проведем перпендикуляр из точки P к плоскости B. Пусть это будет отрезок PQ.

Так как сфера касается плоскости B, то радиус сферы R будет перпендикулярен плоскости B в точке Q (точке касания сферы и плоскости B).

Таким образом, точка Q будет лежать на линии, проходящей через O и перпендикулярной плоскости B. Обозначим эту линию OQ.

Расстояние между CD и O в плоскости B будет равно длине отрезка OQ.

3. Найдем общую длину отрезков OM и OQ.

Поскольку плоскости A и B взаимно перпендикулярны, линии OM и OQ также будут перпендикулярны.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора на треугольнике OMQ, где OM - катет, OQ - катет, и расстояние между CD и O - гипотенуза.

Теорема Пифагора гласит:

\[
\text{{гипотенуза}}^2 = \text{{катет}}_1^2 + \text{{катет}}_2^2
\]

В нашем случае:
\[
\text{{Расстояние между CD и O}}^2 = \text{{длина отрезка OM}}^2 + \text{{длина отрезка OQ}}^2
\]

4. Запишем известные значения.

Мы знаем, что радиус сферы R равен корню квадратному из, и это будет \(R = \sqrt{2}\).

5. Заменяем известные значения в уравнение.

\[
\text{{Расстояние между CD и O}}^2 = \text{{длина отрезка OM}}^2 + \text{{длина отрезка OQ}}^2
\]

\[
\text{{Расстояние между CD и O}}^2 = R^2 + R^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4
\]

6. Найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения.

\[
\text{{Расстояние между CD и O}} = \sqrt{4} = 2
\]

Таким образом, расстояние между центром сферы O и линией пересечения CD составляет 2 единицы длины.

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.