1. Вычислите значение ЕС в треугольнике АВС, если известно, что АЕ=3, АС=6 и ВС=8. 2. Пропорциональность площадей

1. Для вычисления значения стороны ЕС в треугольнике АВС, нам понадобится использовать теорему косинусов. Данная теорема гласит, что для треугольника с сторонами a, b и c и углом α, расположенным против стороны a, выполняется следующее соотношение:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\]

В нашем случае у нас есть стороны АЕ, АС и ВС, поэтому мы можем обозначить ЕС как сторону c, АЕ как сторону a и АС как сторону b. Также у нас есть данные значения: АЕ = 3, АС = 6 и ВС = 8.

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить ЕС:

\[\begin{align*}
EC^2 &= AE^2 + AC^2 - 2 \cdot AE \cdot AC \cdot \cos(\angle A) \\
EC^2 &= 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(\angle A) \\
EC^2 &= 9 + 36 - 36 \cdot \cos(\angle A)
\end{align*}\]

Так как нам не даны данные об угле A, мы не можем точно определить конечное значение EC, но мы можем выразить его в виде уравнения:

\[EC^2 = 45 - 36 \cdot \cos(\angle A)\]

2. Для решения этой задачи, сначала нам необходимо использовать известные данные для установления пропорции между площадями треугольников АВС и NMК:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{NMK}} = \frac{4}{3}\]

Далее, нам дано, что угол А равен углу N. Таким образом, у нас есть следующая пропорция между сторонами треугольников:

\[\frac{AB}{NK} = \frac{AC}{NM}\]

Мы знаем, что АВ = 6, АС = 5 и NK = 3. Наша задача - найти сторону НМ.

Подставляем известные значения в пропорцию:

\[\frac{6}{3} = \frac{5}{NM}\]

Домножаем обе части пропорции на NM:

\[6 \cdot NM = 3 \cdot 5\]

Получаем уравнение:

\[6 \cdot NM = 15\]

Делим обе части уравнения на 6:

\[NM = \frac{15}{6}\]

Упрощаем дробь:

\[NM = \frac{5}{2}\]

Значит, сторона HМ равна \(\frac{5}{2}\).

3. Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства подобных треугольников. Подобные треугольники имеют соответствующие углы, которые равны, и их стороны пропорциональны.

Нам дано, что угол А равен углу D, а угол B равен углу E, и длины сторон BC, EF и AC равны 10, 15 и 8 соответственно. Наша задача - определить длину стороны DF.

Мы знаем, что треугольники ABC и DEF подобны, поэтому у нас есть следующая пропорция между их сторонами:

\[\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}\]

Подставляем известные значения в пропорцию:

\[\frac{10}{DE} = \frac{8}{DF} = \frac{BC}{15}\]

Мы можем использовать пропорцию чтобы выразить DF:

\[\frac{10}{8} = \frac{BC}{15}\]

Упрощаем дробь:

\[\frac{5}{4} = \frac{BC}{15}\]

Умножаем обе части пропорции на 15:

\[15 \cdot \frac{5}{4} = BC\]

\[BC = \frac{75}{4}\]

Значит, сторона DF равна \(\frac{75}{4}\).