Каково расстояние между центрами двух шаров на бильярдном столе, если координаты первого шара равны x1=1 м, y1=2

Для начала, найдем расстояние между центрами двух шаров с заданными координатами. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула имеет вид:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Подставим значения координат и выполним вычисления:

\[
d = \sqrt{{(2 - 1)^2 + (3 - 2)^2}} = \sqrt{{1^2 + 1^2}} = \sqrt{{2}} \approx 1.41 \, \text{м}
\]

Получили, что расстояние между центрами двух шаров на бильярдном столе составляет около 1.41 метра.

Теперь разберемся с углом, под которым нужно направить кий, чтобы ближний шар попал в дальний. Рисунок будет очень полезен в понимании задачи, поэтому я приложу его здесь:

  |       ..

  |      . .

  |     .  .

  |    .   .

  |   .    .

  |  .     .

  | . α    .

  O--------O

   шар 1   шар 2

Видим, что кий направлен по оси OX, поэтому от оси OX можно провести перпендикуляр к линии прохода шара 1. Угол между этим перпендикуляром и осью OX будет являться искомым углом \(\alpha\).

По рисунку, мы можем увидеть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза будет равна расстоянию между центрами шаров, а катетом будет разность координат \(x_2 - x_1\).

Теперь мы можем использовать тригонометрию. Вспомним определение тангенса:

\[
\tan(\alpha) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}
\]

Применяя это определение к нашему треугольнику, получаем:

\[
\tan(\alpha) = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Подставим значения координат и выполним вычисления:

\[
\tan(\alpha) = \frac{{3 - 2}}{{2 - 1}} = \frac{1}{1} = 1
\]

Теперь найдем значение угла \(\alpha\) с помощью обратной функции тангенса:

\[
\alpha = \arctan(1)
\]

Итак, угол \(\alpha\) равен 45 градусам.

Таким образом, чтобы при ударе ближний шар попал в дальний, необходимо направить кий под углом около 45 градусов относительно оси OX.