Каково распределение случайной величины X, которая представляет количество светофоров, проеханных автомобилем до первой

Хорошо! Для начала давайте определим вид распределения случайной величины X, которая представляет количество светофоров, проеханных автомобилем до первой остановки. В данной задаче, X может принимать значения 0, 1, 2, 3, и так далее. Здесь X является дискретной случайной величиной, а распределение, описывающее эту случайную величину, называется геометрическим распределением.

Геометрическое распределение определяется вероятностью успеха $p$ в каждом испытании и количеством испытаний $x$ до первого успеха (где успех - это в данном случае остановка на светофоре). Функция вероятности геометрического распределения задается формулой:

$$P(X=x)=(1-p{)}^{x-1}\cdot p$$

где $0<p<1$ - вероятность успеха (остановки на светофоре).

Теперь давайте построим полигон распределения $X$. Мы будем строить график, где по оси X будут откладываться значения $x$, а по оси Y - соответствующие вероятности $P(X=x)$. Вот таблица, где рассчитаны вероятности для первых нескольких значений $x$:

+-----------+--------------+
| x | P(X = x) |
+-----------+--------------+
| 0 | p |
| 1 | (1-p) * p |
| 2 | (1-p)^2 * p |
| 3 | (1-p)^3 * p |
| ... | ... |
+-----------+--------------+

Теперь, чтобы построить полигон распределения, вам нужно отметить значения $x$ на оси X и соответствующие им вероятности на оси Y.

Чтобы найти функцию распределения $F(X)$, нужно сложить вероятности для всех значений $x\le k$, где $k$ - конкретное значение случайной величины $X$:

$$F(X)=P(X\le k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)$$

Теперь давайте построим график функции распределения $F(X)$ на основе ранее рассчитанных вероятностей.

Чтобы найти математическое ожидание $M(X)$ (среднее значение), нужно умножить каждое значение $x$ на соответствующую вероятность $P(X=x)$, а затем сложить все произведения:

$$M(X)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot P(X=x)$$

Построим график функции распределения и вычислим математическое ожидание, используя формулу выше. Если у вас есть конкретные значения $p$ и $k$, я могу помочь вам с вычислениями и построением графика.