Каково распределение числа правильных ответов при случайном угадывании в контрольной работе, состоящей из трех

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть вероятность правильного ответа на один вопрос равна \( p = \frac{1}{3} \), а вероятность неправильного ответа равна \( q = 1 - p = \frac{2}{3} \). Поскольку каждый вопрос имеет только один правильный ответ, независимость вероятностей на каждый вопрос необходима для применения биномиального распределения.

Вероятность получить \( k \) правильных ответов при случайном угадывании трех вопросов задается функцией вероятности биномиального распределения:

\[ P(K = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( n \) - количество испытаний (в данном случае 3 вопроса), \( k \) - количество правильных ответов, \( \binom{n}{k} \) обозначает биномиальный коэффициент, равный количеству комбинаций из \( n \) по \( k \).

Теперь у нас есть достаточная информация, чтобы вычислить распределение числа правильных ответов и ожидание (математическое ожидание) и дисперсию данного распределения.

Чтобы вычислить ожидание, мы можем использовать формулу:

\[ E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X = k) \]

Где \( X \) - количество правильных ответов. В этом случае \( n = 3 \).

Чтобы вычислить дисперсию, мы можем использовать формулу:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Где \( X \) - количество правильных ответов.

Чтобы узнать ожидание и дисперсию, нам нужно вычислить \( P(X = k) \) для всех возможных значений \( k \) (от 0 до 3) и использовать эти значения в формулах для ожидания и дисперсии.

Давайте вычислим распределение числа правильных ответов, ожидание и дисперсию для данной задачи.