Каково приближенное расстояние от точки А до самой удаленной от нее вершины квадрата в сантиметрах, с учетом того

Чтобы найти расстояние от точки А до самой удаленной вершины квадрата, мы сначала должны определить, где находятся эти вершины. Затем мы можем вычислить расстояние от точки А до каждой вершины и выбрать самое большое из этих расстояний.

Давайте начнем с определения расположения вершин квадрата. Квадрат имеет сторону 10 мм, поэтому каждая из его вершин находится на расстоянии 10 мм от точки центра квадрата.

Далее, нам дано, что внутри квадрата проведены прямые, параллельные его сторонам, разрезая его на два заштрихованных прямоугольника. Одна площадь прямоугольника равна 12 мм², а другая - 42 мм². Чтобы определить положение этих прямоугольников внутри квадрата, нам нужно учесть, что их площади пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Давайте обозначим длины сторон этих прямоугольников как x и y. Тогда мы можем записать систему уравнений:

\(xy = 12\) (1)
\((10 - x)(10 - y) = 42\) (2)

Теперь давайте решим эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y. Применим второе приближенное значение, \( \sqrt{17} = 4.12 \), чтобы легче решить систему уравнений.

Используя уравнение (1), мы можем выразить y через x:

\(y = \frac{12}{x}\) (3)

Подставим значение y в уравнение (2):

\((10 - x)(10 - \frac{12}{x}) = 42\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(x^2 - 10x + 12 = 0\)

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для x, используя квадратное уравнение:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

В этом случае, a = 1, b = -10 и c = 12. Подставим эти значения в формулу:

\(x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}\)

Упростим выражение:

\(x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2}\)

\(x = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2}\)

Подставим приближенное значение \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2 \cdot \sqrt{13} \) и решим:

\(x = \frac{10 \pm 2 \cdot \sqrt{13}}{2}\)

Упростим еще раз:

\(x = 5 \pm \sqrt{13}\)

Теперь у нас есть два возможных значения для x. Подставим их в уравнение (3), чтобы найти соответствующие значения y:

Когда \(x = 5 + \sqrt{13}\), y будет равно:

\(y = \frac{12}{5 + \sqrt{13}}\)

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на \(5 - \sqrt{13}\):

\(y = \frac{12 \cdot (5 - \sqrt{13})}{(5 + \sqrt{13}) \cdot (5 - \sqrt{13})}\)

Упростим числитель:

\(y = \frac{60 - 12 \cdot \sqrt{13}}{25 - 13}\)

\(y = \frac{60 - 12 \cdot \sqrt{13}}{12}\)

\(y = 5 - \sqrt{13}\)

Таким образом, когда \(x = 5 + \sqrt{13}\), \(y = 5 - \sqrt{13}\).

Аналогично, когда \(x = 5 - \sqrt{13}\), \(y = 5 + \sqrt{13}\).

Теперь мы можем перейти к вычислению расстояния от точки А до каждой из вершин квадрата, используя расстояние между двумя точками в плоскости.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) определяется следующим образом:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Поэтому, чтобы найти расстояние от точки А до каждой вершины квадрата, мы можем использовать координаты точки А (0, 0) и координаты каждой вершины (10, 10), (10, 0), (0, 10).

1. Расстояние до вершины (10, 10):

\(d_1 = \sqrt{(10 - 0)^2 + (10 - 0)^2}\)

\(d_1 = \sqrt{10^2 + 10^2}\)

\(d_1 = \sqrt{200}\)

2. Расстояние до вершины (10, 0):

\(d_2 = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - 0)^2}\)

\(d_2 = \sqrt{10^2 + 0^2}\)

\(d_2 = 10\)

3. Расстояние до вершины (0, 10):

\(d_3 = \sqrt{(0 - 0)^2 + (10 - 0)^2}\)

\(d_3 = \sqrt{0^2 + 10^2}\)

\(d_3 = 10\)

Итак, расстояние от точки А до самой удаленной вершины квадрата составляет \(\sqrt{200}\) сантиметров или приближенно 14.14 сантиметров.