Каково полное ускорение точки в конце 2 секунды, если она движется по кривой радиуса 10 м, и уравнение ее движения

Хорошо, чтобы найти полное ускорение точки в конце 2 секунды, нам необходимо данные об ускорении (а) и радиусе (r) орбиты движения точки. В данной задаче, нам даны параметры уравнения движения точки, но отсутствуют непосредственно ускорение и радиус.

Для того чтобы выполнить пошаговое решение задачи, начнем с нахождения скорости (v) точки. Скорость - это производная от уравнения S относительно времени (t). Продифференцируем данное уравнение, чтобы найти скорость:

\[v = \frac{dS}{dt} = \frac{d(5t^2+1.5t+2.5)}{dt}\]

\[v = 10t + 1.5\]

Теперь, чтобы найти ускорение (a), продифференцируем уравнение скорости (v) по времени (t):

\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(10t + 1.5)}{dt}\]

\[a = 10\]

Мы получили значение ускорения (а) равное 10.

Теперь перейдем к нашей схеме для визуализации составляющих полного ускорения на орбите движения точки:

\underline{Схема:}

- Центростремительное ускорение ( \(a_{\text{ц}}\) ): направлено в сторону центра окружности и зависит от радиуса орбиты и квадрата скорости точки. В нашем случае, радиус \(r = 10\) м и скорость (v) мы нашли равной \(10t + 1.5\).
\[a_{\text{ц}} = \frac{{v^2}}{r} = \frac{{(10t + 1.5)^2}}{10}\]

- Тангенциальное ускорение ( \(a_{\text{т}}\) ): направлено по касательной к кривой и зависит только от изменения скорости точки.
\[a_{\text{т}} = \frac{{dv}}{{dt}} = 10\]

- Полное ускорение ( \(a_{\text{п}}\) ): является векторной суммой центростремительного ускорения и тангенциального ускорения.
\[a_{\text{п}} = \sqrt{{(a_{\text{ц}})^2 + (a_{\text{т}})^2}}\]

Теперь, подставим значение ускорения в нашу схему:

\[a_{\text{ц}} = \frac{{(10t + 1.5)^2}}{10}\]

\[a_{\text{т}} = 10\]

\[a_{\text{п}} = \sqrt{{\left(\frac{{(10t + 1.5)^2}}{10}\right)^2 + 10^2}}\]

Используя это исходное уравнение движения, мы можем найти полное ускорение точки в конце 2 секунды, подставив \(t = 2\) в нашу последнюю формулу для \(a_{\text{п}}\):

\[a_{\text{п}} = \sqrt{{\left(\frac{{(10 \cdot 2 + 1.5)^2}}{10}\right)^2 + 10^2}}\]

\[a_{\text{п}} = \sqrt{{(21)^2 + 100}}\]

\[a_{\text{п}} = \sqrt{{441 + 100}}\]

\[a_{\text{п}} = \sqrt{{541}}\]

Полное ускорение точки в конце 2 секунды нашей кривой равно \(\sqrt{{541}}\) (приближенно 23.26).

Таким образом, полное ускорение точки в конце 2 секунды равно \(\sqrt{{541}}\) (приближенно 23.26).