Каково полное ускорение точки в конце 2 секунды, если она движется по кривой радиуса 10 м, и уравнение ее движения

Хорошо, чтобы найти полное ускорение точки в конце 2 секунды, нам необходимо данные об ускорении (а) и радиусе (r) орбиты движения точки. В данной задаче, нам даны параметры уравнения движения точки, но отсутствуют непосредственно ускорение и радиус.

Для того чтобы выполнить пошаговое решение задачи, начнем с нахождения скорости (v) точки. Скорость - это производная от уравнения S относительно времени (t). Продифференцируем данное уравнение, чтобы найти скорость:

$$v=\frac{dS}{dt}=\frac{d(5t^2+1.5t+2.5)}{dt}$$

$$v=10t+1.5$$

Теперь, чтобы найти ускорение (a), продифференцируем уравнение скорости (v) по времени (t):

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d(10t+1.5)}{dt}$$

$$a=10$$

Мы получили значение ускорения (а) равное 10.

Теперь перейдем к нашей схеме для визуализации составляющих полного ускорения на орбите движения точки:

\underline{Схема:}

- Центростремительное ускорение ( $a_{\text{ц}}$ ): направлено в сторону центра окружности и зависит от радиуса орбиты и квадрата скорости точки. В нашем случае, радиус $r=10$ м и скорость (v) мы нашли равной $10t+1.5$.
$$a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r}=\frac{(10t+1.5{)}^2}{10}$$

- Тангенциальное ускорение ( $a_{\text{т}}$ ): направлено по касательной к кривой и зависит только от изменения скорости точки.
$$a_{\text{т}}=\frac{dv}{dt}=10$$

- Полное ускорение ( $a_{\text{п}}$ ): является векторной суммой центростремительного ускорения и тангенциального ускорения.
$$a_{\text{п}}=\sqrt{(a_{\text{ц}}{)}^2+(a_{\text{т}}{)}^2}$$

Теперь, подставим значение ускорения в нашу схему:

$$a_{\text{ц}}=\frac{(10t+1.5{)}^2}{10}$$

$$a_{\text{т}}=10$$

$$a_{\text{п}}=\sqrt{{\left(\frac{(10t+1.5{)}^2}{10}\right)}^2+{10}^2}$$

Используя это исходное уравнение движения, мы можем найти полное ускорение точки в конце 2 секунды, подставив $t=2$ в нашу последнюю формулу для $a_{\text{п}}$:

$$a_{\text{п}}=\sqrt{{\left(\frac{(10\cdot 2+1.5{)}^2}{10}\right)}^2+{10}^2}$$

$$a_{\text{п}}=\sqrt{(21{)}^2+100}$$

$$a_{\text{п}}=\sqrt{441+100}$$

$$a_{\text{п}}=\sqrt{541}$$

Полное ускорение точки в конце 2 секунды нашей кривой равно $\sqrt{541}$ (приближенно 23.26).

Таким образом, полное ускорение точки в конце 2 секунды равно $\sqrt{541}$ (приближенно 23.26).