Каково отношение ускорения свободного падения на поверхности этой планеты к ускорению свободного падения на поверхности

Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится использовать закон всемирного тяготения, который утверждает, что ускорение свободного падения на поверхности планеты зависит от ее массы и радиуса. Формула для вычисления ускорения свободного падения на поверхности планеты выглядит следующим образом:

\[g = \frac{G \cdot M}{R^2},\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты и \(R\) - радиус планеты.

По заданию, масса данной планеты в 8 раз больше массы Земли, а радиус в 2 раза больше радиуса Земли. Пусть \(M_{\text{планеты}}\) и \(R_{\text{планеты}}\) будут массой и радиусом данной планеты соответственно, а \(M_{\text{Земли}}\) и \(R_{\text{Земли}}\) - массой и радиусом Земли соответственно.

Тогда у нас есть следующие соотношения:

\[M_{\text{планеты}} = 8 \cdot M_{\text{Земли}}\]
\[R_{\text{планеты}} = 2 \cdot R_{\text{Земли}}\]

Мы хотим найти отношение ускорения свободного падения на поверхности планеты к ускорению свободного падения на поверхности Земли. Обозначим это отношение как \(k\):

\[k = \frac{g_{\text{планеты}}}{g_{\text{Земли}}}\]

Теперь вспомним формулу для ускорения свободного падения:

\[g = \frac{G \cdot M}{R^2}\]

Подставляя значения \(M_{\text{планеты}}\) и \(R_{\text{планеты}}\) для планеты и \(M_{\text{Земли}}\) и \(R_{\text{Земли}}\) для Земли, мы можем выразить \(k\) следующим образом:

\[k = \frac{\frac{G \cdot M_{\text{планеты}}}{R_{\text{планеты}}^2}}{\frac{G \cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2}}\]

Теперь давайте сократим формулу, используя соотношения для массы и радиуса:

\[k = \frac{\frac{G \cdot 8 \cdot M_{\text{Земли}}}{(2 \cdot R_{\text{Земли}})^2}}{\frac{G \cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2}}\]

\[k = \frac{\frac{8 \cdot G \cdot M_{\text{Земли}}}{4 \cdot R_{\text{Земли}}^2}}{\frac{G \cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2}}\]

\[k = \frac{8 \cdot G \cdot M_{\text{Земли}}}{4 \cdot R_{\text{Земли}}^2} \cdot \frac{R_{\text{Земли}}^2}{G \cdot M_{\text{Земли}}}\]

Здесь гравитационная постоянная \(G\) сокращается, а \(R_{\text{Земли}}^2\) сокращается и мы получим:

\[k = \frac{8}{4} = 2\]

Таким образом, отношение ускорения свободного падения на поверхности данной планеты к ускорению свободного падения на поверхности Земли равно 2.