Каково отношение ускорений, приобретаемых двумя каменными шариками во время их столкновения на гладкой поверхности

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы сохранения импульса и момента импульса.

Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость. Закон сохранения импульса утверждает, что внешние силы не влияют на изменение общего импульса системы, если нет внешних сил на систему. При столкновении двух тел без внешних сил, импульсы этих тел должны сохраняться.

Также, учитывая, что столкновение происходит на гладкой поверхности, можно предположить, что в данной задаче не учитывается трение.

Пусть масса первого шарика будет \(m_1\), а второго - \(m_2\). Импульсы шариков до столкновения обозначим как \(p_1\) и \(p_2\), соответственно. Скорости шариков перед столкновением обозначим как \(v_1\) и \(v_2\).

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы после столкновения должен быть равен импульсу системы до столкновения:

\[p_{1} + p_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}\]

Следовательно, скорости после столкновения обозначим как \(v_{1}^\prime\) и \(v_{2}^\prime\). Таким образом, уравнение сохранения импульса можно записать следующим образом:

\[m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v_{1}^\prime + m_{2}v_{2}^\prime \quad (1)\]

Также, поскольку импульс - это векторная величина, мы должны учесть, что шарики после столкновения движутся в противоположных направлениях. Поэтому импульс второго шарика будет иметь противоположную направленность, то есть импульс шарика второго шарика будет равен \(-m_{2}v_{2}^\prime\).

При учёте момента импульса исключим не нужную формулу \(I\omega\) и скажем, что момент импульса для каждого шарика равен его массе умноженной на радиус в квадрате, умноженный на угловую скорость, так как речь идет о гладком движении. Поскольку угловая скорость равна нулю для обоих шариков, то моменты импульса для них также будут равны нулю до и после столкновения.

Так как момент импульса - это также векторная величина, мы можем записать уравнение сохранения момента импульса в виде:

\[m_{1}r_{1}^{2} \cdot 0 + m_{2}r_{2}^{2} \cdot 0 = m_{1}r_{1}^{2} \cdot 0 + m_{2}r_{2}^{2} \cdot 0 \quad (2)\]

Где \(r_{1}\) и \(r_{2}\) - радиусы первого и второго шариков соответственно.

Из уравнений (1) и (2) можно заключить, что массы шариков и радиусы необходимо нам вообще не нужны для решения задачи. Зато, ускорения \(a_{1}\) и \(a_{2}\) являются одним из параметров, который мы искали.

Выразим скорости после столкновения \(v_{1}^\prime\) и \(v_{2}^\prime\) через ускорения \(a_{1}\) и \(a_{2}\) и время столкновения \(t\):

\[v_{1}^\prime = a_{1} \cdot t\]
\[v_{2}^\prime = a_{2} \cdot t\]

Подставим эти значения в уравнение (1):

\[m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1} \cdot a_{1} \cdot t + m_{2} \cdot a_{2} \cdot t\]

Теперь мы можем упростить это уравнение, разделив обе его части на время столкновения \(t\):

\[m_{1} \cdot \frac{v_{1}}{t} + m_{2} \cdot \frac{v_{2}}{t} = m_{1} \cdot a_{1} + m_{2} \cdot a_{2}\]

Так как \(\frac{v_{1}}{t}\) и \(\frac{v_{2}}{t}\) - это ускорения \(a_{1}\) и \(a_{2}\) соответственно, это уравнение можно переписать следующим образом:

\[m_{1} \cdot a_{1} + m_{2} \cdot a_{2} = m_{1} \cdot a_{1} + m_{2} \cdot a_{2}\]

Таким образом, мы получили, что \(a_{1} = a_{1}\) и \(a_{2} = a_{2}\). Следовательно, отношение ускорений \(a_{1}/a_{2}\) будет равно 1.

Исходя из вышеизложенного, отношение ускорений, приобретаемых двумя каменными шариками во время их столкновения на гладкой поверхности, если радиус первого шарика в три раза меньше радиуса второго шарика, равно 1.