Каково отношение скоростей концов минутной и секундной стрелок, если минутная стрелка в 4 раза длиннее секундной?

Чтобы решить эту задачу, давайте представим, что минутная стрелка имеет длину \(x\) единиц, а секундная стрелка имеет длину \(y\) единиц. Теперь, давайте применим условие задачи: минутная стрелка в 4 раза длиннее секундной.

Математически это может быть записано как:

\[x = 4y\]

Теперь, чтобы найти отношение скоростей двух стрелок, мы можем использовать следующую формулу:

\[\text{отношение скоростей} = \frac{\text{период первой стрелки}}{\text{период второй стрелки}}\]

Период первой стрелки, соответствующей минутной стрелке, равен 60 минутам, так как она делает полный оборот за 60 минут. Тем не менее, период второй стрелки, соответствующей секундной стрелке, равен 60 секундам, так как она делает полный оборот за 60 секунд.

Теперь давайте найдем длину окружности на концах минутной и секундной стрелок для вычисления периодов.

Длина окружности \(C\) вычисляется по формуле:

\[C = 2\pi r\]

где \(r\) - радиус окружности.

Так как длина окружности равна \(2\pi r\), где радиусом является длина стрелки, то мы можем записать:

Длина окружности минутной стрелки:
\[C_{\text{минутная}} = 2\pi x\]

Длина окружности секундной стрелки:
\[C_{\text{секундная}} = 2\pi y\]

Теперь давайте заметим, что за период первой стрелки минутной стрелке нужно обойти длину окружности минутной стрелки \(C_{\text{минутная}}\), а за период второй стрелки секундной стрелке нужно обойти длину окружности секундной стрелки \(C_{\text{секундная}}\).

Таким образом, период первой стрелки равен:

\[\text{период минутной стрелки} = \frac{C_{\text{минутная}}}{\text{скорость минутной стрелки}}\]

Аналогично, период второй стрелки равен:

\[\text{период секундной стрелки} = \frac{C_{\text{секундная}}}{\text{скорость секундной стрелки}}\]

Исходя из условия задачи, у нас есть отношение длин стрелок:

\[x = 4y\]

Теперь, посмотрим на отношение периодов:

\[ \frac{\text{период минутной стрелки}}{\text{период секундной стрелки}} = \frac{\frac{2\pi x}{\text{скорость минутной стрелки}}}{\frac{2\pi y}{\text{скорость секундной стрелки}}} \]

Длина окружности минутной стрелки \(C_{\text{минутная}} = 2\pi x\), а длина окружности секундной стрелки \(C_{\text{секундная}} = 2\pi y\), поэтому:

\[\frac{\frac{2\pi x}{\text{скорость минутной стрелки}}}{\frac{2\pi y}{\text{скорость секундной стрелки}}} = \frac{\frac{2\pi x}{v_1}}{\frac{2\pi y}{v_2}}\]

Теперь, если мы заметим, что \(x = 4y\), то мы можем альтернативно записать это отношение:

\[\frac{\frac{2\pi x}{v_1}}{\frac{2\pi y}{v_2}} = \frac{\frac{2\pi(4y)}{v_1}}{\frac{2\pi y}{v_2}}\]

Теперь давайте упростим это выражение:

\[\frac{\frac{2\pi(4y)}{v_1}}{\frac{2\pi y}{v_2}} = \frac{\frac{8\pi y}{v_1}}{\frac{2\pi y}{v_2}} = \frac{8\pi y}{v_1} \cdot \frac{v_2}{2\pi y}\]

Замечаем, что \(y\) сокращается:

\[\frac{8\pi y}{v_1} \cdot \frac{v_2}{2\pi y} = \frac{8v_2}{v_1}\]

Таким образом, отношение скоростей концов минутной и секундной стрелок равно \(\frac{8v_2}{v_1}\).

Ответ: Отношение скоростей концов минутной и секундной стрелок равно \(\frac{8v_2}{v_1}\).

Обоснование: Мы использовали геометрические свойства окружностей и отношение длин стрелок, чтобы найти отношение скоростей и доказать ответ.