Каково отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника, если на его сторонах отмечены

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале разберемся, что такое отношение площадей. Отношением площадей двух фигур называется число, полученное делением площади одной фигуры на площадь другой фигуры.

Давайте предположим, что исходный четырехугольник имеет площадь $S$, а серый четырехугольник имеет площадь $S_g$. Наша задача состоит в том, чтобы выразить отношение $S$ к $S_g$.

Посмотрите на рисунок, где на сторонах исходного четырехугольника отмечены точки, делящие их на три равные части.
$$Rисунок$$

Поскольку стороны четырехугольника соединены отмеченными точками, мы можем разбить исходный четырехугольник на девять меньших частей, каждая из которых является параллелограммом.
$$Рисунок$$

Отметим, что серый четырехугольник, который имеет площадь $S_g$, является одной из этих девяти частей.
$$Рисунок$$

Теперь мы можем заметить, что соотношение площадей каждого из этих параллелограммов равно 1:1, то есть каждый из них имеет одинаковую площадь. Это происходит потому, что каждый из них имеет одинаковую высоту и базу, а площадь параллелограмма равна произведению его высоты на длину базы.

Таким образом, получаем следующее соотношение:
$$\frac{S}{9}:S_g=1:1$$

Для того чтобы выразить отношение $S$ к $S_g$, умножим обе части на $S_g$:
$$\frac{S}{9}=S_g$$

Теперь, чтобы выразить $S$ через $S_g$, умножим обе части на 9:
$$S=9S_g$$

Таким образом, отношение площади исходного четырехугольника к площади серого четырехугольника равно 9:1.