Каково отношение массы солнца к массе земли, основываясь на следующих фактах: луна делает 13 оборотов вокруг земли

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы гравитации и движения небесных тел. Начнем с определения отношения массы солнца к массе земли, и пройдем пошагово через все необходимые расчеты.

1. Давайте обозначим массу солнца как \(M_{\text{солнца}}\) и массу земли как \(M_{\text{земли}}\). Мы хотим найти отношение \( \frac{M_{\text{солнца}}}{M_{\text{земли}}}\).

2. Для начала, воспользуемся фактом, что луна делает 13 оборотов вокруг земли за один земной год. Это означает, что луна проходит полный круг вокруг земли за 365 дней.

3. Среднее расстояние от солнца до земли равно 390 разам больше, чем расстояние от луны до земли. Обозначим это расстояние как \(d_{\text{солнца-земля}}\) и расстояние от луны до земли как \(d_{\text{луна-земля}}\). Тогда мы можем записать следующее соотношение:
\[d_{\text{солнца-земля}} = 390 \cdot d_{\text{луна-земля}}\]

4. Следующим шагом будет использование закона гравитации, который гласит, что ускорение свободного падения одного тела к другому пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. В нашем случае, это будет применено к земле и луне, а также солнцу и земле. Закон гравитации формализуется следующим образом:
\[F = G \cdot \frac{{M_1 \cdot M_2}}{{r^2}}\]
где \(F\) - сила гравитации, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_1\) и \(M_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между ними.

5. По закону гравитации сила гравитации, действующая между луной и землей, должна быть равной силе гравитации между землей и солнцем. То есть:
\[F_{\text{луна-земля}} = F_{\text{солнце-земля}}\]
Применим закон гравитации ко всем трём телам.

6. Рассмотрим гравитационную силу между луной и землей:
\[F_{\text{луна-земля}} = G \cdot \frac{{M_{\text{луны}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{d_{\text{луна-земля}}^2}}\]

7. Рассмотрим гравитационную силу между солнцем и землей:
\[F_{\text{солнце-земля}} = G \cdot \frac{{M_{\text{солнца}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{d_{\text{солнца-земля}}^2}}\]

8. Теперь применим соотношение \(d_{\text{солнца-земля}} = 390 \cdot d_{\text{луна-земля}}\), полученное в шаге 3:
\[F_{\text{солнце-земля}} = G \cdot \frac{{M_{\text{солнца}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{(390 \cdot d_{\text{луна-земля}})^2}}\]

9. Мы знаем, что \(F_{\text{луна-земля}} = F_{\text{солнце-земля}}\) (см. шаг 5), поэтому можем приравнять выражения из шагов 6 и 8. Получим:
\[G \cdot \frac{{M_{\text{луны}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{d_{\text{луна-земля}}^2}} = G \cdot \frac{{M_{\text{солнца}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{(390 \cdot d_{\text{луна-земля}})^2}}\]

10. Далее, сокращаем гравитационную постоянную \(G\) с обеих сторон уравнения:
\[\frac{{M_{\text{луны}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{d_{\text{луна-земля}}^2}} = \frac{{M_{\text{солнца}} \cdot M_{\text{земли}}}}{{(390 \cdot d_{\text{луна-земля}})^2}}\]

11. Если сократить массу земли \(M_{\text{земли}}\) с обеих сторон уравнения, получим:
\[\frac{{M_{\text{луны}}}}{{d_{\text{луна-земля}}^2}} = \frac{{M_{\text{солнца}}}}{{(390 \cdot d_{\text{луна-земля}})^2}}\]

12. Теперь подставим известные значения: \(d_{\text{луна-земля}} = 1\) (примем это расстояние за единичное), так как мы получим отношение масс, и пусть \(m_{\text{луны}}\) будет масса луны:
\[\frac{{m_{\text{луны}}}}{{1^2}} = \frac{{M_{\text{солнца}}}}{{(390 \cdot 1)^2}}\]

13. Произведем несложные вычисления:
\[m_{\text{луны}} = \frac{{M_{\text{солнца}}}}{{(390)^2}}\]

Таким образом, получаем, что отношение массы солнца к массе земли равно \(\frac{{M_{\text{солнца}}}}{{m_{\text{луны}}}} = (390)^2\) или \(152100\).