Каково отношение CD:DB в треугольнике ABC, где известно, что cos∠B=5/13, cos∠C=4/5, и на медианах BM и CN построены

Давайте начнем с изучения отношений между сторонами треугольника ABC.

У нас есть треугольник ABC, где угол B равен cos∠B = 5/13, а угол C равен cos∠C = 4/5. Мы хотим найти отношение CD:DB.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать закон косинусов. Когда у нас есть все три стороны и один угол, мы можем найти оставшиеся стороны с помощью этого закона.

Закон косинусов гласит: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\), где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - оставшиеся стороны, а С - мера угла, образованного этими оставшимися сторонами.

Давайте применим этот закон к нашему треугольнику ABC. Мы не знаем длины сторон, поэтому обозначим их как a, b и c, а сторона AB будет нашей гипотенузой:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Теперь давайте разберемся с медианами BM и CN. Медианы делят стороны треугольника пополам и пересекаются в точке P, что делает BP = PC. Окружности, построенные на медианах BM и CN в качестве радиусов, пересекаются в точке Q, а хорда PQ пересекает сторону BC в точке D.

Таким образом, мы видим, что треугольник BPC является равнобедренным треугольником, и BP равняется PC.

Мы также знаем, что PQ - это хорда, которая пересекает BC в точке D.

Теперь вернемся к треугольнику ABC и нашему выражению для AB^2:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Так как BP = PC, то можем описать отрезок BC как сумму BD и DC: BC = BD + DC.

Подставим это в наше уравнение и заменим все величины, используя известные нам углы и отношения:
\[AB^2 = (BD + DC)^2 + AC^2 - 2 \cdot (BD + DC) \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Используя теперь факт равенства BP и PC, мы знаем, что BD = DP и DC = CP:
\[AB^2 = (DP + CP)^2 + AC^2 - 2 \cdot (DP + CP) \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Теперь давайте продолжим и подставим значения DP и CP:

\[AB^2 = (DP + DP)^2 + AC^2 - 2 \cdot (DP + DP) \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Мы знаем, что треугольник BPC является равнобедренным треугольником, а cos(∠BAC) = cos(∠BPC). Давайте обозначим cos(∠BPC) как x:

\[AB^2 = (2DP)^2 + AC^2 - 2 \cdot (2DP) \cdot AC \cdot x\]

Теперь давайте решим задачу и найдем отношение CD:DB:

\[AC = AB \cdot \cos(∠C) = AB \cdot \frac{4}{5}\]
\[(2DP)^2 = \frac{AB^2}{4} - \frac{AC^2}{4} + \frac{AB \cdot AC \cdot x}{2}\]

Теперь мы можем найти значения AB и AC с использованием известных углов и отношений. Подставим эти значения в выражение для (2DP)^2 и вычислим его.

Приходим к следующему выражению:

\[(2DP)^2 = \frac{AB^2}{4} - \frac{AB^2}{20} + \frac{AB \cdot AB \cdot \frac{4}{5} \cdot x}{2}\]

Сократим выражение и продолжим упрощение:

\[(2DP)^2 = \frac{AB^2}{20} + \frac{2}{5} \cdot AB^2 \cdot x\]

Теперь давайте разберемся с выражением для (2DP)^2:

\[\left(\frac{2}{5} + 1\right) \cdot AB^2 \cdot x = (2DP)^2\]
\[\frac{7}{5} \cdot AB^2 \cdot x = (2DP)^2\]

Теперь найдем отношение CD:DB. Заметим, что CD = DP:

\[\frac{CD}{DB} = \frac{DP}{DB} = \frac{DP}{DP+BP} = \frac{1}{1+\frac{BP}{DP}}\]

Мы можем заметить, что \(\frac{BP}{DP} = \sqrt{\frac{7}{5} \cdot AB^2 \cdot x}\), поскольку мы знаем, что DP = CD и \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(\angle BAC)\).

Теперь остается только подставить найденные значения в последнее выражение:

\[\frac{CD}{DB} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{7}{5} \cdot AB^2 \cdot x}}\]

Вот и ответ на задачу. Выражение \(CD:DB\) в треугольнике ABC равно \(\frac{1}{1+\sqrt{\frac{7}{5} \cdot AB^2 \cdot x}}\), где \(AB\) - длина гипотенузы треугольника ABC, а \(x\) - \(cos(∠BPC)\).