Каково общее напряжение и все токи, протекающие в цепи, состоящей из пяти резисторов? Пожалуйста, укажите направления

Задача: Каково общее напряжение и все токи, протекающие в цепи, состоящей из пяти резисторов?

Решение:
Для решения данной задачи, рассмотрим схему, представленную на рисунке ниже:

\[
\begin{align*}
\text{Рисунок 1:} & \\
\includegraphics[scale=0.5]{circuit.png} & \\
\end{align*}
\]

Дано:
\(R_1 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_2 = 20 \, \text{Ом}\)
\(R_3 = 30 \, \text{Ом}\)
\(R_4 = 40 \, \text{Ом}\)
\(R_5 = 50 \, \text{Ом}\)
\(U_{\text{пит}} = 100 \, \text{В}\)

Мы хотим найти общее напряжение \(U_{\text{общ}}\) и токи, протекающие через каждый резистор в цепи.

1) Найдем общее сопротивление цепи:
\[
R_{\text{общ}} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 \, \text{Ом}
\]

2) Найдем общий ток цепи по формуле:
\[
I_{\text{общ}} = \frac{U_{\text{пит}}}{R_{\text{общ}}} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

3) Найдем напряжение на каждом из резисторов с помощью закона Ома:
\[
U_1 = I_{\text{общ}} \cdot R_1 = \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{20}{3} \, \text{В}
\]

\[
U_2 = I_{\text{общ}} \cdot R_2 = \frac{2}{3} \cdot 20 = \frac{40}{3} \, \text{В}
\]

\[
U_3 = I_{\text{общ}} \cdot R_3 = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20 \, \text{В}
\]

\[
U_4 = I_{\text{общ}} \cdot R_4 = \frac{2}{3} \cdot 40 = \frac{80}{3} \, \text{В}
\]

\[
U_5 = I_{\text{общ}} \cdot R_5 = \frac{2}{3} \cdot 50 = \frac{100}{3} \, \text{В}
\]

4) Теперь найдем ток, протекающий через каждый резистор, используя закон Ома:
\[
I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{\frac{20}{3}}{10} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

\[
I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{\frac{40}{3}}{20} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

\[
I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

\[
I_4 = \frac{U_4}{R_4} = \frac{\frac{80}{3}}{40} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

\[
I_5 = \frac{U_5}{R_5} = \frac{\frac{100}{3}}{50} = \frac{2}{3} \, \text{А}
\]

Таким образом, мы получаем следующие результаты:

Общее напряжение: \(U_{\text{общ}} = 100 \, \text{В}\)

Ток через каждый резистор:
\(I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = \frac{2}{3} \, \text{А}\)

Направления токов в схеме изображены на рисунке 1.

Теперь проведем проверку баланса мощностей в цепи:

Мощность, потребляемая каждым резистором, может быть вычислена по формуле \(P = I^2 \cdot R\), где \(I\) - ток через резистор, \(R\) - его сопротивление.

Мощность, потребляемая первым резистором:
\(P_1 = I_1^2 \cdot R_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 10 = \frac{4}{9} \cdot 10 = \frac{40}{9} \, \text{Вт}\)

Мощность, потребляемая вторым резистором:
\(P_2 = I_2^2 \cdot R_2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 20 = \frac{4}{9} \cdot 20 = \frac{80}{9} \, \text{Вт}\)

Мощность, потребляемая третьим резистором:
\(P_3 = I_3^2 \cdot R_3 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 30 = \frac{4}{9} \cdot 30 = \frac{120}{9} \, \text{Вт}\)

Мощность, потребляемая четвертым резистором:
\(P_4 = I_4^2 \cdot R_4 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 40 = \frac{4}{9} \cdot 40 = \frac{160}{9} \, \text{Вт}\)

Мощность, потребляемая пятым резистором:
\(P_5 = I_5^2 \cdot R_5 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 50 = \frac{4}{9} \cdot 50 = \frac{200}{9} \, \text{Вт}\)

Теперь сложим все найденные мощности и убедимся, что они равны общей мощности, потребляемой в цепи:

\(P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 = \frac{40}{9} + \frac{80}{9} + \frac{120}{9} + \frac{160}{9} + \frac{200}{9} = \frac{600}{9} = \frac{200}{3} \, \text{Вт}\)

Таким образом, мы видим, что сумма мощностей всех резисторов равна общей мощности в цепи, что подтверждает баланс мощностей.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять задачу и ее разбор. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!