Каково общее количество оборотов вала за время движения, если частота его вращения меняется в соответствии с графиком?

Хорошо, давайте решим задачу. Для нахождения общего количества оборотов вала необходимо проинтегрировать функцию, задающую график зависимости частоты вращения от времени.

Допустим, функция, задающая график, представлена как \(f(t)\), где \(t\) - это время, а \(f(t)\) - функция, представляющая частоту вращения вала в зависимости от времени.

Пошаговое решение:
1. Определите функцию \(f(t)\), которая описывает график зависимости частоты вращения вала от времени.
2. Найдите производную функции \(f(t)\) для определения скорости изменения частоты вращения.
3. Затем проинтегрируйте полученную производную функцию для нахождения общего количества оборотов вала за время движения.
4. Вычислите результат и представьте его в понятной форме.

Например, давайте предположим, что функция \(f(t)\) задается графиком, состоящим из двух участков: прямой линии, где график повышается линейно, и параболической кривой.

Теперь приведу пример подробного решения этой задачи для конкретного графика \(f(t)\).

1. Пусть график имеет вид:
\[
f(t) =
\begin{cases}
10t, & \text{если } 0 \leq t \leq 5 \\
40(t-5)^2 + 250, & \text{если } 5 < t \leq 10
\end{cases}
\]

2. Найдем производную функции \(f(t)\):
\[
f"(t) =
\begin{cases}
10, & \text{если } 0 \leq t \leq 5 \\
80(t-5), & \text{если } 5 < t \leq 10
\end{cases}
\]

3. Проинтегрируем полученную производную функцию в пределах от \(t_1\) до \(t_2\) для нахождения общего количества оборотов вала:
\[
\text{Количество оборотов} = \int_{t_1}^{t_2} f"(t) \, dt
\]
В данном случае, когда график разделен на две части, мы должны интегрировать каждую часть отдельно.

Для первой части графика (\(0 \leq t \leq 5\)), получим:
\[
\int_{0}^{5} 10 \, dt = 10t \Bigg|_{0}^{5} = 50 - 0 = 50
\]
Таким образом, количество оборотов вала на первой части графика равно 50.

Аналогично для второй части графика (\(5 < t \leq 10\)):
\[
\int_{5}^{10} 80(t-5) \, dt = 40(t-5)^2 \Bigg|_{5}^{10} = 40(10-5)^2 - 40(0)^2
\]
\[
= 40(5)^2 - 40(0) = 40(25) - 0 = 1000
\]
Таким образом, количество оборотов вала на второй части графика равно 1000.

4. Теперь сложим количество оборотов для каждой части графика, чтобы найти общее количество оборотов вала:
\[
\text{Общее количество оборотов вала} = 50 + 1000 = 1050
\]

Итак, общее количество оборотов вала за время движения, при заданной функции \(f(t)\) равно 1050.