Каково натяжение (в мн) цепочки, когда гладкая цепочка длиной 1 м и массой 157 г замкнута в кольцо и надета сверху

Для решения данной задачи, нам понадобится применить закон сохранения энергии.

Первым шагом определим потенциальную энергию цепочки в начальный момент времени. В начальной позиции все элементы цепочки находятся на высоте \(h_0 = 0\), поэтому потенциальная энергия будет равна нулю.

Вторым шагом определим кинетическую энергию цепочки в начальный момент времени. Кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии каждого элемента цепочки.

Для одного элемента цепочки массой \(m_i\) и скоростью \(v_i\), кинетическая энергия определяется следующей формулой:
\[E_{ki} = \frac{1}{2} m_i v_i^2\]

Так как каждый элемент цепочки имеет одинаковую массу и скорость, мы можем записать:
\[E_{k} = \frac{1}{2} m v^2\]

Третьим шагом определим потенциальную энергию цепочки в конечный момент времени. В конечной позиции цепочка поднялась на высоту \(h\), поэтому потенциальная энергия будет равна:
\[E_p = mgh\]

Учитывая, что масса цепочки \(m = 0.157\) кг, скорость каждого элемента цепочки \(v = 2\) м/с, гравитационная постоянная \(g = 10\) м/с\(^2\), длина цепочки \(L = 1\) м и угол полураствора конуса \(\alpha = 45^\circ\), переведем его в радианы \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).

Теперь мы можем приступить к подсчетам.

Кинетическая энергия цепочки в начальный момент времени:
\[E_0 = \frac{1}{2} \cdot 0.157 \cdot 2^2 = 0.628 \, \text{Дж}\]

Потенциальная энергия цепочки в конечный момент времени:
\[E_p = 0.157 \cdot 10 \cdot h\]

Учитывая закон сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий должна оставаться постоянной:
\[E_0 + E_p = 0.628 + 0.157 \cdot 10 \cdot h = E_p\]

Решим уравнение относительно высоты \(h\):
\[0.628 + 1.57 \cdot h = 0.157 \cdot 10 \cdot h\]
\[0.628 = 1.43 \cdot h\]
\[h = \frac{0.628}{1.43} = 0.438 \, \text{м}\]

Теперь мы можем определить натяжение цепочки.

В начальном момент времени натяжение цепочки равно силе тяжести, действующей на нее:
\[T_0 = m \cdot g = 0.157 \cdot 10 = 1.57 \, \text{Н}\]

В конечный момент времени натяжение цепочки равно силе тяжести, действующей на цепочку плюс силе, необходимой для ее вращения по кругу:
\[T_p = m \cdot g + m \cdot \frac{v^2}{R}\]

Для вычисления радиуса \(R\) воспользуемся геометрическими свойствами конуса. Так как угол полураствора конуса \(\alpha = 45^\circ\), а длина цепочки \(L = 1\) метр, мы можем выразить радиус \(R\) через гипотенузу и угол:
\[R = \frac{L}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{8})}\]

Теперь мы можем вычислить натяжение цепочки в конечный момент времени:
\[T_p = 0.157 \cdot 10 + 0.157 \cdot \frac{2^2}{\frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{8})}} = 3.14 \, \text{Н}\]

Итак, натяжение цепочки в конечный момент времени составляет 3.14 Ньютонов.