Каково начальное расстояние между шариками L1, если после их соприкосновения и разделения сила взаимодействия

Для решения этой задачи нам необходимо использовать закон сохранения механической энергии. При соприкосновении и разделении шариков сила взаимодействия между ними не меняется, что означает, что механическая энергия системы сохраняется.

Механическая энергия системы состоит из кинетической энергии (Эк) и потенциальной энергии (Эп). Предположим, что в начальный момент шарики находились на расстоянии L1 друг от друга. После соприкосновения и разделения они снова располагаются на расстоянии L1.

Пусть m - масса каждого шарика, v1 и v2 - начальная и конечная скорости первого шарика соответственно, и u1 и u2 - начальная и конечная скорости второго шарика соответственно.

Механическая энергия до взаимодействия шариков:
$${Э}_{до}=Э{к}_{1,нач}+Э{к}_{2,нач}+Э{п}_{1,нач}+Э{п}_{2,нач}$$

Механическая энергия после взаимодействия шариков:
$${Э}_{после}=Э{к}_{1,кон}+Э{к}_{2,кон}+Э{п}_{1,кон}+Э{п}_{2,кон}$$

Так как сила взаимодействия не изменилась, то потенциальная энергия шариков осталась неизменной:
$$Э{п}_{1,нач}=Э{п}_{1,кон}$$
$$Э{п}_{2,нач}=Э{п}_{2,кон}$$

Также в момент соприкосновения и разделения шариков их скорости равны нулю:
$$v2=0$$
$$u1=0$$

Тогда механическая энергия до взаимодействия шариков преобразуется:
$${Э}_{до}=\frac{1}{2}mv{1}^2+\frac{1}{2}mu{1}^2+Э{п}_{1,нач}+Э{п}_{2,нач}$$

А механическая энергия после взаимодействия шариков преобразуется:
$${Э}_{после}=\frac{1}{2}mv{2}^2+\frac{1}{2}mu{2}^2+Э{п}_{1,кон}+Э{п}_{2,кон}$$

Учитывая условие задачи, что сила взаимодействия не изменилась, получаем:
$${Э}_{до}={Э}_{после}$$

Подставляя значения и учитывая, что $v2=0$ и $u1=0$, получим:
$$\frac{1}{2}mv{1}^2+\frac{1}{2}mu{1}^2+Э{п}_{1,нач}+Э{п}_{2,нач}=\frac{1}{2}mv{2}^2+\frac{1}{2}mu{2}^2+Э{п}_{1,кон}+Э{п}_{2,кон}$$

Поскольку $v2=0$ и $u1=0$, то члены с кинетической энергией равны нулю:
$$\frac{1}{2}mv{1}^2+\frac{1}{2}mu{1}^2+Э{п}_{1,нач}+Э{п}_{2,нач}=Э{п}_{1,кон}+Э{п}_{2,кон}$$

Так как потенциальная энергия шариков на расстоянии L1 равна $-\frac{G{m}^2}{L1}$, где G - гравитационная постоянная, получим:
$$\frac{1}{2}mv{1}^2+\frac{1}{2}mu{1}^2-\frac{G{m}^2}{L1}-\frac{G{m}^2}{L1}=-\frac{G{m}^2}{L1}-\frac{G{m}^2}{L1}$$

Очевидно, что левая и правая часть уравнения равны. Исходя из этого, у нас есть равенство:
$$\frac{1}{2}mv{1}^2+\frac{1}{2}mu{1}^2=0$$

Так как масса и скорости не равны нулю, получим:
$$1v{1}^2+1u{1}^2=0$$

Упрощая это уравнение, получим:
$$v{1}^2+u{1}^2=0$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то этому уравнению может удовлетворять только вариант ответа с нулевым значениями $v1$ и $u1$.

Следовательно, ответом на задачу является вариант 1) 4 м. Так как шарики не имели в начальный момент скорости, то они находились на начальном расстоянии L1 = 4 м друг от друга.