Каково множество значений x, для которых функция y = √(6x - x^2 + 3)/√x определена?

Чтобы определить множество значений x, при которых функция y = \(\frac{\sqrt{6x - x^2 + 3}}{\sqrt{x}}\) определена, мы должны учесть следующие условия:

1. Знаменатель функции не может быть равен нулю. Так как у нас знаменатель равен \(\sqrt{x}\), это означает, что x не может быть равно нулю. Таким образом, x ≠ 0.

2. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным. То есть \(6x - x^2 + 3 ≥ 0\).

Давайте решим неравенство \(6x - x^2 + 3 ≥ 0\):

1. Перенесем все члены в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартному виду: \(x^2 - 6x + 3 ≤ 0\).

2. Найдем вершина параболы, заданной уравнением \(x^2 - 6x + 3 = 0\). Формула вершины параболы: \(x = \frac{-b}{2a}\). В нашем случае a = 1, b = -6, поэтому \(x = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3\).

3. Поскольку коэффициент при \(x^2\) является положительным, парабола направлена вниз. Следовательно, функция будет неотрицательной вне интервала, содержащего вершину кривой.

4. Разберемся с знаком \(x^2 - 6x + 3\):

* Если \(x < 3\), то \(x^2 - 6x\) - положительно, а значит полное выражение будет отрицательным.
* Если \(x = 3\), то \(x^2 - 6x\) равно нулю, а значит полное выражение будет равно 3 (так как 3 ≥ 0).
* Если \(x > 3\), то \(x^2 - 6x\) - отрицательно, а значит полное выражение будет положительным.

Теперь мы можем сформулировать окончательный ответ:

Множество значений x, для которых функция \(y = \frac{\sqrt{6x - x^2 + 3}}{\sqrt{x}}\) определена, это все значения x, которые не равны нулю и удовлетворяют неравенству \(x ≤ 3\) или \(x > 3\). Математически это записывается как \(x ≠ 0\) и \(x ≤ 3\) или \(x > 3\).

Надеюсь, это решение покрывает все ваши вопросы! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.