Каково минимальное расстояние между графиком параболы y=x² и прямой x-y-2=0?

Конечно! Давайте решим задачу о минимальном расстоянии между графиком параболы \(y=x^2\) и прямой \(x-y-2=0\) пошагово.

Шаг 1: Найдем точку пересечения параболы и прямой. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение параболы:
\[x - (x^2) - 2 = 0\]

Шаг 2: Решим это уравнение. Перепишем его в виде квадратного уравнения:
\[x^2 - x + 2 = 0\]

Используем квадратное уравнение, чтобы найти значения x:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = 2\). Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}\]

Выполним вычисления:

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у нас нет вещественных корней. То есть парабола и прямая не пересекаются.

Шаг 3: Теперь нам нужно найти расстояние между параболой и прямой, даже если они не пересекаются. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой.

Формула для вычисления расстояния между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\) имеет вид:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В нашем случае у нас точек пересечения нет, поэтому нам нужно найти минимальное расстояние от вершины параболы до прямой.

Шаг 4: Найдем координаты вершины параболы \(y = x^2\). Вершина параболы имеет формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В этом случае у нас \(a = 1\) и \(b = 0\). Подставим значения:

\[x = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (0, 0).

Шаг 5: Подставим значения из вершины параболы в формулу расстояния:
\[d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

У нас уравнение прямой имеет вид \(x-y-2=0\), поэтому \(A = 1\), \(B = -1\), \(C = -2\), \(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0\). Подставим эти значения:

\[d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Таким образом, минимальное расстояние между графиком параболы \(y = x^2\) и прямой \(x-y-2=0\) равно \(\sqrt{2}\).