Каково математическое ожидание числа единиц, которые не выпали, после 5 бросков игральной кости? Какова дисперсия этого

При решении этой задачи мы будем использовать понятие математического ожидания и дисперсии.

Перед тем, как мы перейдем к решению, давайте разберемся в определениях.

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины в большом количестве испытаний. В данном случае, мы хотим найти математическое ожидание числа единиц, которые не выпали после 5 бросков игральной кости.

Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. То есть, это показатель, который позволяет нам понять, насколько "разбросанными" могут быть значения случайной величины относительно ее среднего значения.

Теперь давайте рассмотрим решение задачи.

Игральная кость имеет 6 граней, значит вероятность выпадения единицы при одном броске равна 1/6, а вероятность не выпадения единицы равна 5/6.

Давайте представим случайную величину X, которая обозначает число единиц, не выпавших после 5 бросков. Значение X может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5.

Чтобы найти математическое ожидание числа единиц, необходимо умножить каждое возможное значение X на его вероятность и сложить результаты. То есть:

\[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) + 4 \cdot P(X = 4) + 5 \cdot P(X = 5) \]

Теперь вычислим каждую вероятность P(X = k), где k - значение X.

P(X = 0) - это вероятность не выпадения ни одной единицы. В данном случае это равно (5/6)^5, так как для каждого броска вероятность не выпадения единицы равна 5/6.

P(X = 1) - это вероятность выпадения только одной единицы. В данном случае она равна 5 * (1/6) * (5/6)^4, так как вероятность выпадения единицы равна 1/6, а вероятность не выпадения единицы равна 5/6.

Аналогично, мы можем найти вероятности для всех остальных значений X.

Подставив значения вероятностей в формулу математического ожидания, мы можем найти искомое значение.

Теперь перейдем к вычислению дисперсии.

Дисперсия случайной величины X вычисляется по формуле:

\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

где E(X) - это математическое ожидание случайной величины X.

Мы уже знаем E(X) по предыдущему рассуждению. Теперь нам нужно найти E(X^2).

E(X^2) можно найти, аналогично E(X), умножив каждое возможное значение X^2 на его вероятность и сложив результаты.

Подставив значения в формулу для дисперсии, мы можем вычислить ее значение.

Таким образом, чтобы найти математическое ожидание числа единиц, не выпавших после 5 бросков игральной кости, и дисперсию этого числа, нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислить P(X = k) для каждого значения k от 0 до 5.
2. Вычислить E(X), используя формулу, приведенную выше.
3. Вычислить E(X^2).
4. Вычислить Var(X), используя формулу, приведенную выше.

Описанные выше шаги позволят найти математическое ожидание и дисперсию числа единиц, не выпавших после 5 бросков игральной кости.