Каково математическое ожидание числа болтов, которые Учёный вынимает из ящика, чтобы на них повстречались все 4 нужных

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам понадобится изучить теорию случайных величин и вероятностей. Давайте начнем.

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины - это сумма произведений каждого возможного значения случайной величины на вероятность его появления. В данной задаче, случайной величиной будет являться количество вынутых болтов, необходимых для того, чтобы повстречались все 4 нужных болта.

Прежде всего, давайте посчитаем вероятность того, что какой-то определенный болт будет найден в одной выборке. Обозначим эту вероятность как \(P_i\), где \(i\) - номер болта от 1 до 4. Так как ученый выбирает болты наугад, вероятность найти нужный болт в каждой попытке равна количеству нужных болтов к общему количеству болтов в ящике. Изначально в ящике имеется один болт и 4 нужных болта, следовательно, вероятность найти первый нужный болт равна:

\[P_1 = \frac{4}{1 + 4}\]

После того как первый болт будет найден и удален из ящика, в ящике останутся 3 изначально нужных болта и 1 изначально лишний болт, так как один нужный болт уже найден. Следовательно, вероятность найти второй нужный болт равна:

\[P_2 = \frac{3}{1 + 3}\]

По аналогии, для третьего и четвертого нужных болтов получаем:

\[P_3 = \frac{2}{1 + 2}\]

\[P_4 = \frac{1}{1 + 1}\]

Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание величины "количество вынутых болтов до нахождения всех 4 нужных болтов". Обозначим это значение как \(E(X)\).

\[E(X) = 1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 + 3 \cdot P_3 + 4 \cdot P_4\]

Подставим значения вероятностей:

\[E(X) = 1 \cdot \frac{4}{1 + 4} + 2 \cdot \frac{3}{1 + 3} + 3 \cdot \frac{2}{1 + 2} + 4 \cdot \frac{1}{1 + 1}\]

Остается лишь вычислить данное выражение:

\[E(X) = \frac{4}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{4}{2}\]

Для удобства сократим дроби:

\[E(X) = \frac{4}{5} + \frac{3}{2} + 2 + 2\]

\[E(X) = \frac{4}{5} + \frac{6}{2} + 4\]

\[E(X) = \frac{4}{5} + 3 + 4\]

\[E(X) = \frac{4}{5} + 7\]

\[E(X) = \frac{4 + 35}{5}\]

\[E(X) = \frac{39}{5}\]

Итак, математическое ожидание количества болтов, которые Учёный должен вынуть из ящика, чтобы найти все 4 нужных болта, равно \(\frac{39}{5}\) или 7.8.iteration