Каково максимальное значение функции Y, когда Y=log8(4−4x−x2)+8?

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Мы должны определить максимальное значение функции \( Y \), где \( Y = \log_8(4-4x-x^2)+8 \).

Для начала, давайте разберемся, что такое логарифм. Логарифм — это обратная функция к возведению числа в степень. В данном случае, мы имеем логарифм с основанием 8.

Мы также знаем, что значение логарифма будет максимальным, когда аргумент логарифма будет максимальным.

Теперь, для максимального значения функции \( Y \), нам нужно найти максимальное значение аргумента внутри логарифма.

Для этого, давайте проанализируем аргумент \( 4-4x-x^2 \). Мы можем представить его в виде квадратного трехчлена:

\( 4-4x-x^2 = -(x^2+4x-4) \)

Теперь, чтобы найти максимальное значение этого квадратного трехчлена, мы можем воспользоваться формулой \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты квадратного трехчлена \( ax^2+bx+c \).

В данном случае, коэффициенты равны \( a = -1 \), \( b = 4 \) и \( c = -4 \). Подставим их в формулу:

\( x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \)

Теперь мы знаем, что максимальное значение аргумента достигается при \( x = 2 \).

Мы можем подставить \( x = 2 \) обратно в исходную функцию \( Y \) и вычислить максимальное значение \( Y \):

\( Y = \log_8(4-4(2)-2^2)+8 = \log_8(4-8-4)+8 = \log_8(-8)+8 \)

Расчеты показывают, что аргумент под логарифмом является отрицательным числом. Однако, логарифм с отрицательным аргументом не имеет действительных значений.

Следовательно, максимальное значение функции \( Y \) не существует в области действительных чисел.

Вывод: Максимальное значение функции \( Y \) не определено в области действительных чисел.