Каково количество сторон в выпуклом многоугольнике, если число диагоналей

Question

Геометрия: Каково количество сторон в выпуклом многоугольнике, если число диагоналей в нем в 8 раз больше числа его углов?

Барбос · Accepted Answer

Пусть у нас есть многоугольник с (n ) углами. Количество сторон в таком многоугольнике равно (n ), а количество диагоналей равно ( frac{n(n-3)}{2} ). Согласно условию задачи, количество диагоналей в 8 раз больше числа углов, то есть ( frac{n(n-3)}{2} = 8n ). Давайте решим эту квадратное уравнение. [ frac{n(n-3)}{2} = 8n ] Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: [n(n-3) = 16n ] Распределение по правой части даст: [n^2 - 3n = 16n ] Перенесем все в левую часть уравнения: [n^2 - 19n = 0 ] Так как у нас есть произведение двух множителей (причем один из них равен нулю), то мы можем найти все значения (n ), для которых это произведение будет равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю: [n = 0 ] или [n - 19 = 0 ] Первое решение (n = 0 ) не подходит в данной задаче, так как мы говорим о выпуклом многоугольнике (без самопересечений). Поэтому единственным допустимым решением будет (n = 19 ). Таким образом, в выпуклом многоугольнике с 19 углами будет

Каково количество сторон в выпуклом многоугольнике, если число диагоналей в нем в 8 раз больше числа его углов?

Барбос

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!