Каково количество членов арифметической прогрессии, если сумма первых четырех равна 40, сумма последних четырех равна

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Допустим, что наша арифметическая прогрессия состоит из $n$ членов. Обозначим первый член через $a_1$ и разность между членами прогрессии через $d$. Тогда последний член будет равен $a_n=a_1+(n-1)d$.

По условию задачи, сумма первых четырех членов прогрессии равна 40. Это означает, что:

$$S_1=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)=40$$

Упростим это уравнение:

$$4a_1+6d=40$$

Также известно, что сумма последних четырех членов прогрессии равна 104:

$$S_2=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}=104$$

Подставляем значения из предыдущей формулы:

$$(a_1+(n-1)d)+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-3)d)+(a_1+(n-4)d)=104$$

Упростим это уравнение:

$$4a_1+6nd-10d=104$$

В задаче также указано, что общая сумма всех членов прогрессии равна 216:

$$S=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=216$$

Подставляем значения $a_1$ и $a_n$ из предыдущих выражений:

$$\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=216$$

Упростим это уравнение:

$$n{a}_1+\frac{n^2-n}{2}d=216$$

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений:

$$\begin{array}{rl}4a_1+6d& =40\\ 4a_1+6nd-10d& =104\\ n{a}_1+\frac{n^2-n}{2}d& =216\end{array}$$

Решим эту систему уравнений. Выразим $a_1$ и $d$ через $n$ из первого уравнения:

$$a_1=\frac{40-6d}{4}\text{(1)}$$

$$d=\frac{40-4a_1}{6}\text{(2)}$$

Подставим эти выражения во второе уравнение:

$$4a_1+6n\left(\frac{40-4a_1}{6}\right)-10\left(\frac{40-4a_1}{6}\right)=104$$

Упростим это уравнение:

$$8a_1-6n+60=104$$

$$8a_1-6n=44\text{(3)}$$

Теперь подставим выражение для $a_1$ из уравнения (1) в уравнение (3):

$$8\left(\frac{40-6d}{4}\right)-6n=44$$

$$20-3d-6n=44$$

$$3d+6n=-24\text{(4)}$$

Теперь подставим выражение для $d$ из уравнения (2) в уравнение (4):

$$3\left(\frac{40-4a_1}{6}\right)+6n=-24$$

$$20-2a_1+6n=-24$$

$$2a_1-6n=44\text{(5)}$$

Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5) с двумя неизвестными $a_1$ и $n$.
Разрешите эту систему уравнений и найдите значения $a_1$ и $n$:

$$\begin{array}{rl}3d+6n& =-24\\ 2a_1-6n& =44\end{array}$$

Можно решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения-вычитания.

Путем решения этой системы уравнений вы найдете значение $a_1$ и $n$, что даст вам конечное решение задачи.