Каково количество членов арифметической прогрессии, если сумма первых четырех равна 40, сумма последних четырех равна

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Допустим, что наша арифметическая прогрессия состоит из \(n\) членов. Обозначим первый член через \(a_1\) и разность между членами прогрессии через \(d\). Тогда последний член будет равен \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

По условию задачи, сумма первых четырех членов прогрессии равна 40. Это означает, что:

\[S_1 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 +2d) + (a_1 + 3d) = 40\]

Упростим это уравнение:

\[4a_1 + 6d = 40\]

Также известно, что сумма последних четырех членов прогрессии равна 104:

\[S_2 = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} = 104\]

Подставляем значения из предыдущей формулы:

\[(a_1 + (n-1)d) + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-3)d) + (a_1 + (n-4)d) = 104\]

Упростим это уравнение:

\[4a_1 + 6nd - 10d = 104\]

В задаче также указано, что общая сумма всех членов прогрессии равна 216:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = 216\]

Подставляем значения \(a_1\) и \(a_n\) из предыдущих выражений:

\[\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = 216\]

Упростим это уравнение:

\[na_1 + \frac{n^2 - n}{2}d = 216\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений:

\[
\begin{align*}
4a_1 + 6d &= 40 \\
4a_1 + 6nd - 10d &= 104 \\
na_1 + \frac{n^2 - n}{2}d &= 216 \\
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений. Выразим \(a_1\) и \(d\) через \(n\) из первого уравнения:

\[a_1 = \frac{40 - 6d}{4} \quad \text{(1)}\]

\[d = \frac{40 - 4a_1}{6} \quad \text{(2)}\]

Подставим эти выражения во второе уравнение:

\[4a_1 + 6n\left(\frac{40 - 4a_1}{6}\right) - 10\left(\frac{40 - 4a_1}{6}\right) = 104\]

Упростим это уравнение:

\[8a_1 - 6n + 60 = 104\]

\[8a_1 - 6n = 44 \quad \text{(3)}\]

Теперь подставим выражение для \(a_1\) из уравнения (1) в уравнение (3):

\[8\left(\frac{40 - 6d}{4}\right) - 6n = 44\]

\[20 - 3d - 6n = 44\]

\[3d + 6n = -24 \quad \text{(4)}\]

Теперь подставим выражение для \(d\) из уравнения (2) в уравнение (4):

\[3\left(\frac{40 - 4a_1}{6}\right) + 6n = -24\]

\[20 - 2a_1 + 6n = -24\]

\[2a_1 - 6n = 44 \quad \text{(5)}\]

Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5) с двумя неизвестными \(a_1\) и \(n\).
Разрешите эту систему уравнений и найдите значения \(a_1\) и \(n\):

\[
\begin{align*}
3d + 6n &= -24 \\
2a_1 - 6n &= 44 \\
\end{align*}
\]

Можно решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения-вычитания.

Путем решения этой системы уравнений вы найдете значение \(a_1\) и \(n\), что даст вам конечное решение задачи.