Каково изменение кинетической энергии ракеты, когда она удваивает свою скорость и масса ракеты уменьшается вдвое?

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание формулы для кинетической энергии и свойств пропорциональности.

Кинетическая энергия ракеты вычисляется по формуле:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса ракеты, \(v\) - скорость ракеты.

Из условия задачи мы знаем, что скорость ракеты будет удвоена. Обозначим исходную скорость как \(v_0\) и новую скорость как \(v_1\). Тогда у нас будет следующее соотношение:

\[v_1 = 2 v_0\]

Также, масса ракеты уменьшается вдвое. Обозначим исходную массу как \(m_0\) и новую массу как \(m_1\). Тогда у нас будет следующее соотношение:

\[m_1 = \frac{1}{2} m_0\]

Теперь мы можем выразить изменение кинетической энергии через исходные и новые значения:

\[\Delta E_k = E_{k_1} - E_{k_0}\]

Подставим значения кинетической энергии и преобразуем выражение:

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} m_1 v^2_1 - \frac{1}{2} m_0 v^2_0\]

Подставим значения \(m_1\) и \(v_1\):

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m_0\right) (2 v_0)^2 - \frac{1}{2} m_0 v^2_0\]

Сократим и упростим формулу:

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 m_0 v^2_0 - \frac{1}{2} m_0 v^2_0\]

\[\Delta E_k = m_0 v^2_0 - \frac{1}{2} m_0 v^2_0\]

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} m_0 v^2_0\]

Итак, изменение кинетической энергии ракеты составляет половину исходной кинетической энергии.