Каково фокусное расстояние (f) собирающей линзы, если на оптической оси, на расстоянии d = 25 см от линзы, расположен

Данная задача относится к оптике и связана с фокусным расстоянием собирающих линз. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу тонкой линзы:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

где $f$ - фокусное расстояние линзы, $a$ - расстояние от линзы до источника света и $b$ - расстояние от линзы до экрана.

Также, нам дано, что освещенность центра светового пятна на экране одинакова в обоих случаях, т.е. световой поток, проходящий через линзу, сохраняется без изменений:

$I_a=I_b$

Где $I_a$ - освещенность у источника света и $I_b$ - освещенность на экране.

Для дальнейшего решения задачи, нам необходимо найти значения $a$ и $b$.

Расстояние $a$ можно найти вычитанием заданного расстояния $d$ из фокусного расстояния:

$a=f-d$

Известно, что для сфокусированного источника света на экране образуется чёткое изображение, поэтому можно воспользоваться подобием треугольников:

$\frac{h}{a}=\frac{h"}{b}$

где $h$ - высота источника света, $h"$ - высота изображения на экране.

Так как освещенность центра светового пятна одинакова, то световой поток $I$ пропорционален площади $S$ светового пятна и обращается в квадрат плотности потока $E$:

$I=E\cdot S$

Таким образом, можно записать уравнение:

$I_a=E_a\cdot S_a=E_b\cdot S_b=I_b$

где $E_a$ и $E_b$ - плотности потока света на источнике и на экране соответственно, а $S_a$ и $S_b$ - площади светового пятна на источнике и на экране.

Учитывая связь плотности потока света $E$ с высотой изображения $h"$ и расстоянием от линзы до экрана $b$:

$E=\frac{h"}{b^2}$

И подставляя все выражения в уравнение равенства освещенностей:

$E_a\cdot S_a=E_b\cdot S_b$

можно получить:

$\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{d}=\frac{h"}{b}\cdot \frac{h"}{b^2}$

и далее упростить до:

$\frac{h^2}{a\cdot d}=\frac{h{"}^2}{b^3}$

Таким образом, мы получили систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\ \frac{h^2}{a\cdot d}=\frac{h{"}^2}{b^3}\end{array}$$

Решая эту систему уравнений, мы найдем значение $f$, фокусного расстояния собирающей линзы.