Каково фокусное расстояние (f) собирающей линзы, если на оптической оси, на расстоянии d = 25 см от линзы, расположен

Данная задача относится к оптике и связана с фокусным расстоянием собирающих линз. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(a\) - расстояние от линзы до источника света и \(b\) - расстояние от линзы до экрана.

Также, нам дано, что освещенность центра светового пятна на экране одинакова в обоих случаях, т.е. световой поток, проходящий через линзу, сохраняется без изменений:

\(I_a = I_b\)

Где \(I_a\) - освещенность у источника света и \(I_b\) - освещенность на экране.

Для дальнейшего решения задачи, нам необходимо найти значения \(a\) и \(b\).

Расстояние \(a\) можно найти вычитанием заданного расстояния \(d\) из фокусного расстояния:

\(a = f - d\)

Известно, что для сфокусированного источника света на экране образуется чёткое изображение, поэтому можно воспользоваться подобием треугольников:

\(\frac{h}{a} = \frac{h"}{b}\)

где \(h\) - высота источника света, \(h"\) - высота изображения на экране.

Так как освещенность центра светового пятна одинакова, то световой поток \(I\) пропорционален площади \(S\) светового пятна и обращается в квадрат плотности потока \(E\):

\(I = E \cdot S\)

Таким образом, можно записать уравнение:

\(I_a = E_a \cdot S_a = E_b \cdot S_b = I_b\)

где \(E_a\) и \(E_b\) - плотности потока света на источнике и на экране соответственно, а \(S_a\) и \(S_b\) - площади светового пятна на источнике и на экране.

Учитывая связь плотности потока света \(E\) с высотой изображения \(h"\) и расстоянием от линзы до экрана \(b\):

\(E = \frac{h"}{b^2}\)

И подставляя все выражения в уравнение равенства освещенностей:

\(E_a \cdot S_a = E_b \cdot S_b\)

можно получить:

\(\frac{h}{a} \cdot \frac{h}{d} = \frac{h"}{b} \cdot \frac{h"}{b^2}\)

и далее упростить до:

\(\frac{h^2}{a \cdot d} = \frac{h"^2}{b^3}\)

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\
\frac{h^2}{a \cdot d} = \frac{h"^2}{b^3}
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значение \(f\), фокусного расстояния собирающей линзы.