Каково экстремальное значение скорости материальной точки, если её пройденный путь задан уравнением s=0.25t^4-9t^2?

Чтобы найти экстремальное значение скорости материальной точки, необходимо найти производную ее пройденного пути \(s\) по времени \(t\). Для этого возьмем производную от уравнения \(s = 0.25t^4 - 9t^2\):

\[
v = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} (0.25t^4 - 9t^2)
\]

Чтобы найти производную, мы можем использовать правило дифференцирования для каждого члена. Для \(0.25t^4\) мы получим \(4 \cdot 0.25t^{4-1} = t^3\), а для \(-9t^2\) мы получим \(-2 \cdot 9t^{2-1} = -18t\). Объединяя эти два члена, мы получаем:

\[
v = t^3 - 18t
\]

Теперь мы имеем уравнение для скорости точки в зависимости от времени. Чтобы найти экстремальное значение скорости, мы должны найти значения времени, при которых производная \(v\) равна нулю.

\[
t^3 - 18t = 0
\]

Факторизуем это уравнение:

\[
t(t^2 - 18) = 0
\]

Из этого уравнения мы можем видеть, что три значения \(t\) удовлетворяют условию. Одно из этих значений равно нулю, \(t = 0\), что соответствует начальному моменту времени. Другие два значения времени будут являться точками экстремума скорости.

\[
t^2 - 18 = 0
\]

\[
t^2 = 18
\]

\[
t = \pm \sqrt{18}
\]

Таким образом, у нас есть три значения времени, которые соответствуют экстремальным значениям скорости: \(t = 0\) и \(t = \sqrt{18}\) и \(t = -\sqrt{18}\).

Теперь рассмотрим построение графика зависимости скорости точки от времени. Мы можем представить уравнение \(v = t^3 - 18t\) с помощью графика.

\[
\begin{align*}
\text{Выберем несколько значений для } t &\text{ и найдем соответствующие значения скорости } v \\
t = -2: v = (-2)^3 - 18(-2) &= 8 + 36 = 44 \\
t = -1: v = (-1)^3 - 18(-1) &= -1 + 18 = 17 \\
t = 0: v = (0)^3 - 18(0) &= 0 + 0 = 0 \\
t = 1: v = (1)^3 - 18(1) &= 1 - 18 = -17 \\
t = 2: v = (2)^3 - 18(2) &= 8 - 36 = -28 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть некоторые значения скорости для выбранных значений времени. Мы можем построить график, используя эти пары значений (t, v):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & v \\
\hline
-2 & 44 \\
-1 & 17 \\
0 & 0 \\
1 & -17 \\
2 & -28 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, используя эти точки, мы можем нарисовать график зависимости скорости точки от времени.