Каково доказательство того, что угол NKM равен углу PMK, если на рисунке 121 NE _I_ MK, PF _I_ MK, ME = KF, NE

Для доказательства равенства углов \(\angle NKM\) и \(\angle PMK\) нам необходимо использовать данные, которые даны на рисунке 121.

Из условия задачи у нас есть следующие факты:
1. Прямая NE параллельна прямой MK (\(NE \parallel MK\)).
2. Прямая PF параллельна прямой MK (\(PF \parallel MK\)).
3. Длина отрезка ME равна длине отрезка KF (\(ME = KF\)).

На основании этих фактов мы можем приступить к доказательству равенства углов.

Шаг 1: Рассмотрим треугольники NEK и MFK.
В данных треугольниках у нас есть две пары параллельных сторон и одна пара равных сторон, так как ME = KF. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними (СТУ) эти треугольники равны между собой: \(\triangle NEK \cong \triangle MFK\).

Шаг 2: Рассмотрим углы треугольника NEK.
В треугольнике NEK у нас есть два угла: \(\angle NKE\) и \(\angle NEK\).
Так как прямая NE параллельна прямой MK, то по теореме об альтернативных внутренних углах \(\angle NKE\) и \(\angle NEK\) являются соответственными углами и равны между собой: \(\angle NKE = \angle NEK\).

Шаг 3: Рассмотрим углы треугольника MFK.
В треугольнике MFK у нас также есть два угла: \(\angle MKF\) и \(\angle MFK\).
Из предыдущего шага мы знаем, что угол \(\angle NEK\) равен углу \(\angle NKE\). И поскольку параллельные прямые MK и PF пересекаются прямой MK, то по теореме об альтернативных внутренних углах углы \(\angle MKF\) и \(\angle MFK\) также являются соответственными углами и равны между собой: \(\angle MKF = \angle MFK\).

Шаг 4: Сравнение углов NEK и MFK.
Мы доказали, что угол \(\angle NEK\) равен углу \(\angle NKE\) и угол \(\angle MKF\) равен углу \(\angle MFK\). Теперь мы можем сделать вывод, что угол \(\angle NKM\) равен углу \(\angle PMK\), так как это соответствующие углы треугольников \(\triangle NEK\) и \(\triangle MFK\).

Таким образом, мы доказали, что угол NKM равен углу PMK на основе данных, представленных на рисунке 121.