Каково доказательство того, что расстояние между точками C и D соответствует ширине реки?

Для того чтобы доказать, что расстояние между точками C и D соответствует ширине реки, мы можем использовать свойство параллельных линий и свойство вертикальных углов.

Итак, предположим, что у нас есть прямая линия AB, которая представляет собой берег реки. Допустим, точка C находится на одном из берегов, а точка D - на другом. Наша задача - доказать, что расстояние между точками C и D соответствует ширине реки.

Добро, начнем. Нарисуем отрезок CD, соединяющий точки C и D:

\[
\begin{array}{c}
A - B \\
| \\
| \\
C-D \\
\end{array}
\]

Теперь, предположим, что у нас есть точка P, которая находится на противоположной стороне реки от точки C. Мы можем нарисовать отрезок CP и продолжить его до пересечения с прямой AB:

\[
\begin{array}{c}
A - B \\
| \\
| \\
C-D \\
| \\
| \\
P \\
\end{array}
\]

Так как AB является берегом реки, то прямые CD и AB являются параллельными. В этом случае у нас есть две параллельные прямые (CD и AB), пересеченные третьей прямой (CP). Согласно свойству параллельных линий, любая пара вертикальных углов будет равна.

Теперь у нас есть два вертикальных угла - \(\angle CPD\) и \(\angle BPC\):

\[
\begin{array}{c}
A - B \\
| \\
| \\
C-D \\
| \\
| \\
P \\
\end{array}
\]

Поскольку угол \(\angle CPD\) и угол \(\angle BPC\) являются вертикальными, мы можем сделать вывод, что они равны друг другу:

\[
\angle CPD = \angle BPC \quad \text{(1)}
\]

Теперь вспомним, что у нас есть параллельные прямые CD и AB. Это означает, что у нас есть две пары соответственных углов - углы \(\angle CPD\) и \(\angle DAB\) (так как они находятся на одной стороне прямой), и углы \(\angle BPC\) и \(\angle ACD\) (так как они находятся на противоположной стороне прямой):

\[
\begin{array}{cc}
\angle DAB = \angle CPD & \text{(2)} \\
\angle BPC = \angle ACD & \text{(3)}
\end{array}
\]

Из уравнений (2) и (3) мы можем сделать вывод, что

\[
\angle DAB = \angle BPC
\]

Сравнивая это с уравнением (1), мы видим, что \(\angle DAB = \angle CPD = \angle BPC\).

Теперь заметим, что точки D и P лежат на противоположных сторонах от прямой AB, поэтому угол \(\angle DAP\) является вертикальным, и поэтому

\[
\angle DAP = \angle CPD \quad \text{(4)}
\]

Из уравнения (4) мы можем заключить, что угол \(\angle DAB = \angle DAP\).

Мы знаем, что у нас есть треугольник ADP и треугольник DCB, и у них есть два угла, которые равны друг другу (\(\angle DAB = \angle DAP\)). По свойству равных углов, мы можем сделать вывод, что треугольники ADP и DCB подобны.

Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Итак, отношение длины отрезка AD к длине отрезка DC будет равно отношению длины отрезка AP к длине отрезка CB:

\[
\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AP}}{{CB}}
\]

Теперь, если мы заменим отрезок AP на расстояние между точками C и D (которое мы хотим доказать, что оно соответствует ширине реки), а отрезок CB на ширину реки (допустим, обозначим его символом w), у нас будет следующее:

\[
\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{\text{{расстояние между точками C и D}}}}{{\text{{ширина реки}}}}
\]

Таким образом, мы можем сказать, что расстояние между точками C и D соответствует ширине реки, так как отношение AD к DC равно отношению расстояния между точками C и D к ширине реки.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как можно доказать, что расстояние между точками C и D соответствует ширине реки. Если у вас возникнут еще вопросы - не стесняйтесь задавать!