Какова зависимость скорости катера от времени, если водометный катер стартует из состояния покоя? Каждую единицу

Для нахождения зависимости скорости катера от времени, мы можем использовать второй закон Ньютона и закон сохранения импульса. Давайте разберемся подробнее.

По второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на катер, равна произведению его массы на ускорение. В нашем случае, ускорение - это производная от скорости по времени.

Сила тяги двигателя, создаваемая движителем воды задается формулой \(F = \mu u\), где \(\mu\) - масса воды, прокачиваемая двигателем за единицу времени, а \(u\) - скорость истечения воды назад. Поскольку обратная сила равна и противоположна по направлению силе сопротивления, тогда мы можем выразить ее как \(-ma\eta dv\), где \(m\) - масса катера, \(a\) - коэффициент порядка единицы, \(\eta\) - вязкость воды и \(v\) - скорость катера.

Подставим эти значения во второй закон Ньютона и разделим все на массу катера, чтобы получить ускорение:
\[
\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{\mu u - ma\eta v}}{{m}}
\]

Теперь мы получили дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы найти зависимость скорости катера от времени, нам нужно решить это уравнение.

Разделим уравнение на \(\mu u - ma\eta v\) и переместим все слагаемые, содержащие \(v\), в одну часть уравнения:
\[
\frac{{1}}{{\mu u - ma\eta v}} dv = -\frac{{a\eta}}{{m}} dt
\]

Затем проинтегрируем обе части уравнения. Левую часть можно проинтегрировать с помощью метода частных дробей:
\[
\int \frac{{1}}{{\mu u - ma\eta v}} dv = -\int \frac{{a\eta}}{{m}} dt
\]

Далее, проинтегрируем каждую часть по отдельности. Левую часть можно проинтегрировать с заменой переменных:
\[
\int \frac{{1}}{{\mu u}} \cdot \frac{{1}}{{1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v}} dv = -\int \frac{{a\eta}}{{m}} dt
\]

После замены переменных и интегрирования левой части мы получим:
\[
\frac{{\ln|1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v|}}{{\mu u}} = -\frac{{a\eta}}{{m}} t + C_1
\]

где \(C_1\) - интегральная постоянная.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Проинтегрировав правую часть, мы получим:
\[
-\frac{{a\eta}}{{m}} t + C_2
\]

где \(C_2\) - интегральная постоянная.

Сравнивая две стороны уравнения, мы видим, что они равны между собой. Поэтому постоянные \(C_1\) и \(C_2\) могут быть объединены в одну постоянную, называемую \(C\):
\[
\frac{{\ln|1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v|}}{{\mu u}} = -\frac{{a\eta}}{{m}} t + C
\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно скорости \(v\):
\[
\ln|1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v| = -\mu u \frac{{a\eta}}{{m}} t + C \mu u
\]

Используя свойство экспоненты, мы можем избавиться от натурального логарифма:
\[
|1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v| = e^{-\mu ua\eta t} \cdot e^{C \mu u}
\]

Учитывая значения крайних точек модуля, мы можем записать это уравнение как:
\[
1 - \frac{{ma\eta}}{{\mu u}} v = \pm e^{-\mu ua\eta t} \cdot e^{C \mu u}
\]

Избавимся от знаков модуля, освободив \(v\):
\[
v = \frac{{\mu u}}{{ma\eta}} \pm e^{-\mu ua\eta t} \cdot e^{C \mu u}
\]

Таким образом, мы получили зависимость скорости катера от времени \(t\):
\[
v = \frac{{\mu u}}{{ma\eta}} \pm e^{-\mu ua\eta t} \cdot e^{C \mu u}
\]

Оценим эту зависимость в начальный момент времени \(t = 0\). В данном случае, скорость катера будет:
\[
v = \frac{{\mu u}}{{ma\eta}} \pm e^0 \cdot e^{C \mu u} = \frac{{\mu u}}{{ma\eta}} \pm e^{C \mu u}
\]

Таким образом, на самом начальном этапе, сразу после старта, скорость катера будет примерно равна \(\frac{{\mu u}}{{ma\eta}}\) или \(\frac{{\mu u}}{{ma\eta}} \pm 1\) в зависимости от значения константы \(C\).

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!