Какова запись общего решения исходной системы линейных уравнений, если известно, что у неё есть одно частное решение

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам необходимо составить общее решение системы линейных уравнений, используя данное частное решение (1, 2, –1) и систему свободных решений, представленную в виде векторов a.

Для начала, давайте представим, что исходная система линейных уравнений имеет следующий вид:

\[
\begin{align*}
a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z &= d_{1} \\
a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z &= d_{2} \\
a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z &= d_{3}
\end{align*}
\]

Где x, y и z - неизвестные, а \(a_1, b_1, c_1, d_1\) и так далее - коэффициенты уравнений.

Теперь, поскольку у нас уже есть частное решение, мы можем заменить x, y и z на соответствующие значения из этого решения. Следовательно, мы получим:

\[
\begin{align*}
a_{1}(1) + b_{1}(2) + c_{1}(-1) &= d_{1} \\
a_{2}(1) + b_{2}(2) + c_{2}(-1) &= d_{2} \\
a_{3}(1) + b_{3}(2) + c_{3}(-1) &= d_{3}
\end{align*}
\]

После упрощения этих уравнений, получим:

\[
\begin{align*}
a_{1} + 2b_{1} - c_{1} &= d_{1} \\
a_{2} + 2b_{2} - c_{2} &= d_{2} \\
a_{3} + 2b_{3} - c_{3} &= d_{3}
\end{align*}
\]

Итак, мы получили систему уравнений, решение которой дает нам значения коэффициентов при соответствующих переменных. Теперь мы можем представить общее решение в виде:

\[
\begin{align*}
x &= 1 + 2b_{1} - c_{1} \\
y &= 2 + 2b_{2} - c_{2} \\
z &= -1 + 2b_{3} - c_{3}
\end{align*}
\]

где \(b_{1}, b_{2}, b_{3}\) и \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) - произвольные константы.

Таким образом, запись общего решения исходной системы линейных уравнений будет иметь вид:

\[
\begin{align*}
x &= 1 + 2b_{1} - c_{1} \\
y &= 2 + 2b_{2} - c_{2} \\
z &= -1 + 2b_{3} - c_{3}
\end{align*}
\]

Где \(b_{1}, b_{2}, b_{3}\) и \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) - произвольные константы, а (1, 2, –1) является частным решением данной системы.