Какова высота треугольной пирамиды с правильным основанием, апофема которой равна 10 см и которая наклонена к плоскости

Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и радиусом основания. Данный прямоугольный треугольник образуется плоскостью, проходящей через апофему и одну из сторон треугольника, при этом основание треугольника служит гипотенузой.

По условию, апофема пирамиды равна 10 см, а угол между этой апофемой и плоскостью основания составляет 45 градусов.

Для начала, найдем длину стороны треугольника основания. Так как это правильное основание, угол между любыми двумя сторонами равен 60 градусов. Таким образом, у нас есть правильный треугольник с одним углом в 45 градусов и двумя углами в 60 градусов.

При построении биссектрисы угла в 45 градусов, мы разделим этот угол пополам и образуем прямоугольный треугольник с катетами длиной \(a/2\), где \(a\) - длина стороны основания.

Теперь мы можем применить тригонометрический закон синусов для этого треугольника:

\[\sin(45^{\circ}) = \frac{{h}}{{a/2}};\]

Где \(h\) - высота треугольной пирамиды.

Мы знаем, что \(\sin(45^{\circ}) = \frac{{\sqrt{2}}}{2}\), поэтому можно переписать уравнение следующим образом:

\[\frac{{\sqrt{2}}}{2} = \frac{{h}}{{a/2}};\]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{{2}}{{\sqrt{2}}}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[\frac{{2}}{{\sqrt{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2} = \frac{{h}}{{a/2}} \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{2}}};\]

\[\sqrt{2} = \frac{{h}}{{a/2}} \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{2}}};\]

Упростив, получим:

\[\sqrt{2} = \frac{{2h}}{{a}}.\]

Теперь мы можем найти высоту \(h\). Перегруппируем уравнение:

\[\frac{{2h}}{{a}} = \sqrt{2};\]

Умножим обе части на \(\frac{{a}}{{2}}\):

\[2h = \sqrt{2} \cdot \frac{{a}}{{2}};\]

\[h = \frac{{a \cdot \sqrt{2}}}{2}.\]

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна \(\frac{{a \cdot \sqrt{2}}}{2}\), где \(a\) - длина стороны основания. В данной задаче длина стороны основания не указана, поэтому достоверно найти высоту пирамиды невозможно без этой информации.