Какова высота треугольной пирамиды с правильным основанием, апофема которой равна 10 см и которая наклонена к плоскости

Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и радиусом основания. Данный прямоугольный треугольник образуется плоскостью, проходящей через апофему и одну из сторон треугольника, при этом основание треугольника служит гипотенузой.

По условию, апофема пирамиды равна 10 см, а угол между этой апофемой и плоскостью основания составляет 45 градусов.

Для начала, найдем длину стороны треугольника основания. Так как это правильное основание, угол между любыми двумя сторонами равен 60 градусов. Таким образом, у нас есть правильный треугольник с одним углом в 45 градусов и двумя углами в 60 градусов.

При построении биссектрисы угла в 45 градусов, мы разделим этот угол пополам и образуем прямоугольный треугольник с катетами длиной $a/2$, где $a$ - длина стороны основания.

Теперь мы можем применить тригонометрический закон синусов для этого треугольника:

$$\sin ({45}^{\circ })=\frac{h}{a/2};$$

Где $h$ - высота треугольной пирамиды.

Мы знаем, что $\sin ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому можно переписать уравнение следующим образом:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{a/2};$$

Домножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{2}}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{a/2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}};$$

$$\sqrt{2}=\frac{h}{a/2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}};$$

Упростив, получим:

$$\sqrt{2}=\frac{2h}{a}.$$

Теперь мы можем найти высоту $h$. Перегруппируем уравнение:

$$\frac{2h}{a}=\sqrt{2};$$

Умножим обе части на $\frac{a}{2}$:

$$2h=\sqrt{2}\cdot \frac{a}{2};$$

$$h=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна $\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}$, где $a$ - длина стороны основания. В данной задаче длина стороны основания не указана, поэтому достоверно найти высоту пирамиды невозможно без этой информации.