Какова высота шестиугольного призматического стакана, если в него тщательно вложились 3 одинаковых шара, у которых

Шестигранный призматический стакан состоит из двух равносторонних треугольных призм, основания которых являются шестиугольниками. Для решения задачи посчитаем высоту каждого отдельного треугольного призма.

Площадь поверхности каждого шара равна 100π кв.см. У шара площадь поверхности выражается формулой:

\[S = 4πr^2,\]

где \(r\) - радиус шара.

Так как каждый из трех шаров имеет площадь поверхности 100π кв.см, то можем записать:

\[4πr^2 = 100π.\]

Разделим обе части уравнения на 4π, чтобы найти радиус:

\[r^2 = \frac{100π}{4π} = 25.\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[r = \sqrt{25} = 5.\]

Следовательно, радиус шара равен 5 см.

Теперь определим высоту сегмента треугольного призма, в который вложен шар. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора и найдем длину боковой стороны треугольника:

\[a^2 = r^2 - \left(\frac{1}{2}h\right)^2,\]

где \(a\) - длина боковой стороны, \(r\) - радиус шара, \(h\) - высота сегмента.

Так как треугольник равносторонний, то \(a\) равно половине основания шестигранника. А значит:

\[a = \frac{1}{2} \times \text{сторона шестигранника}.\]

Так как шестигранник равносторонний, то каждая сторона равна длине \(a\). Поэтому:

\[\frac{1}{2} \times \text{сторона шестигранника} = a.\]

Теперь можем выразить высоту сегмента треугольного призма:

\[h = 2 \times \sqrt{r^2 - a^2}.\]

Подставим значение радиуса и стороны:

\[h = 2 \times \sqrt{5^2 - \left(\frac{1}{2} \times \text{сторона шестигранника}\right)^2}.\]

Так как в условии задачи не указана сторона шестигранника, мы не можем найти точное численное значение высоты сегмента. Однако можем сформулировать ответ, зависящий от стороны шестигранника.