Какова высота шарового слоя и цилиндра, имеющих общую высоту и общие основания, если объем тела, заключенного между

Для решения задачи нам необходимо использовать формулы для объема шарового слоя и цилиндра.

Объем шарового слоя можно выразить следующей формулой:

\[V_{\text{шарового слоя}} = \frac{1}{3} \pi (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) h\]

где \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы оснований, \(h\) - высота слоя.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h\]

где \(R\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра.

Из условия задачи известно, что объем тела, заключенного между боковыми поверхностями шарового слоя и цилиндра, равен 36π см³. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[V_{\text{шарового слоя}} - V_{\text{цилиндра}} = 36\pi\]

Подставляем выражения для объемов и получаем:

\[\frac{1}{3} \pi (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) h - \pi R^2 h = 36\pi\]

Для упрощения уравнения можно сократить на \(\pi\):

\[\frac{1}{3} (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) h - R^2 h = 36\]

Мы знаем, что шаровой слой и цилиндр имеют общую высоту и общие основания, поэтому \(h\) и \(R\) будут одинаковыми для обоих фигур.

Таким образом, у нас получается система уравнений:

\[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) h - R^2 h = 36 \\ h = h \end{matrix}\right.\]

Мы можем упростить систему уравнений, разделив оба уравнения на \(h\):

\[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3} (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) - R^2 = 36 \\ 1 = 1 \end{matrix}\right.\]

Заметим, что \(h\) не входит в уравнение, и поэтому значение высоты не влияет на ответ. Мы можем обозначить \(x = R_1 + R_2\) и продолжить решение уравнения.

Таким образом, у нас получается уравнение:

\[\frac{1}{3} (x^2 - R_1 R_2) - R^2 = 36\]

Подставляем \(x = R_1 + R_2\):

\[\frac{1}{3} ((R_1 + R_2)^2 - R_1 R_2) - R^2 = 36\]

Раскрываем скобку:

\[\frac{1}{3} (R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2 - R_1 R_2) - R^2 = 36\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{1}{3} (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) - R^2 = 36\]

Из данного уравнения мы видим, что левая часть равна объему шарового слоя, а правая часть равна объему цилиндра. Учитывая, что объем шарового слоя и цилиндра равны 36π см³, получаем следующее уравнение:

\[36\pi = 36\pi\]

Таким образом, независимо от значений радиусов \(R_1\) и \(R_2\) и высоты \(h\), высота шарового слоя и цилиндра всегда будет составлять 36 единиц длины.