Какова высота шарового слоя и цилиндра, имеющих общую высоту и общие основания, если объем тела, заключенного между

Для решения задачи нам необходимо использовать формулы для объема шарового слоя и цилиндра.

Объем шарового слоя можно выразить следующей формулой:

$$V_{\text{шарового слоя}}=\frac{1}{3}\pi (R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)h$$

где $R_1$ и $R_2$ - радиусы оснований, $h$ - высота слоя.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^{2}h$$

где $R$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Из условия задачи известно, что объем тела, заключенного между боковыми поверхностями шарового слоя и цилиндра, равен 36π см³. Таким образом, у нас есть уравнение:

$$V_{\text{шарового слоя}}-V_{\text{цилиндра}}=36\pi$$

Подставляем выражения для объемов и получаем:

$$\frac{1}{3}\pi (R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)h-\pi R^{2}h=36\pi$$

Для упрощения уравнения можно сократить на $\pi$:

$$\frac{1}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)h-R^{2}h=36$$

Мы знаем, что шаровой слой и цилиндр имеют общую высоту и общие основания, поэтому $h$ и $R$ будут одинаковыми для обоих фигур.

Таким образом, у нас получается система уравнений:

$$\{\begin{array}{c}\frac{1}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)h-R^{2}h=36\\ h=h\end{array}$$

Мы можем упростить систему уравнений, разделив оба уравнения на $h$:

$$\{\begin{array}{c}\frac{1}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)-R^2=36\\ 1=1\end{array}$$

Заметим, что $h$ не входит в уравнение, и поэтому значение высоты не влияет на ответ. Мы можем обозначить $x=R_1+R_2$ и продолжить решение уравнения.

Таким образом, у нас получается уравнение:

$$\frac{1}{3}(x^2-R_1{R}_2)-R^2=36$$

Подставляем $x=R_1+R_2$:

$$\frac{1}{3}((R_1+R_2{)}^2-R_1{R}_2)-R^2=36$$

Раскрываем скобку:

$$\frac{1}{3}(R_1^2+2R_1{R}_2+R_2^2-R_1{R}_2)-R^2=36$$

Упрощаем выражение:

$$\frac{1}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1{R}_2)-R^2=36$$

Из данного уравнения мы видим, что левая часть равна объему шарового слоя, а правая часть равна объему цилиндра. Учитывая, что объем шарового слоя и цилиндра равны 36π см³, получаем следующее уравнение:

$$36\pi =36\pi$$

Таким образом, независимо от значений радиусов $R_1$ и $R_2$ и высоты $h$, высота шарового слоя и цилиндра всегда будет составлять 36 единиц длины.