Какова высота ромба с диагоналями, пропорциональные 3:4, при площади, равной 96 квадратным сантиметрам?

Чтобы найти высоту ромба с диагоналями, пропорциональными 3:4, нам понадобится использовать формулу для площади ромба. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с формулы для площади ромба: площадь ромба равна произведению диагоналей, деленному на 2. Математически это можно записать следующим образом:

\(Площадь = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\),

где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба.

2. У нас есть информация о пропорциональности диагоналей: \(\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{4}\). Это означает, что длина одной диагонали является третьей частью от длины другой диагонали.

3. Подставим это значение в формулу площади ромба. Мы знаем, что площадь равна 96 квадратным сантиметрам:

\(96 = \frac{d_1 \cdot \frac{3}{4}d_1}{2}\).

4. Чтобы решить это уравнение, сначала упростим его:

\(96 = \frac{3}{8}d_1^2\),

поскольку \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\).

5. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 8:

\(96 \cdot 8 = 3d_1^2\).

6. Упростим это:

\(768 = 3d_1^2\).

7. Далее, разделим обе стороны на 3:

\(\frac{768}{3} = d_1^2\).

8. Поскольку мы ищем длину диагонали, нам нужно найти квадратный корень из \(d_1^2\):

\(\sqrt{\frac{768}{3}} = d_1\).

9. А теперь вычислим эту величину:

\(d_1 \approx 16\).

10. Но не забудьте, что это лишь длина одной диагонали. Для нахождения высоты ромба, нужно умножить длину диагонали на половину соответствующей стороны ромба. Так как ромбы имеют все стороны одинаковой длины, высота ромба будет равна половине длины любой стороны.

11. Если ромб имеет площадь 96 квадратных сантиметров, мы можем найти длину его стороны, используя формулу:

\(Площадь = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = s \cdot h\),

где \(s\) - длина стороны ромба, \(h\) - высота ромба.

12. Подставим известные значения:

\(96 = s \cdot h\).

13. Из этого уравнения можно решить \(h\):

\(h = \frac{96}{s}\).

14. Но у нас нет информации о длине стороны, поэтому воспользуемся фактом, что у ромба все стороны равны. Поэтому мы можем сказать:

\(h = \frac{96}{s} = \frac{96}{d_1}\).

15. Подставим значение \(d_1 \approx 16\):

\(h = \frac{96}{16} = 6\).

Таким образом, высота ромба с диагоналями, пропорциональными 3:4, при площади, равной 96 квадратным сантиметрам, равняется 6 сантиметрам.