Какова длина диагонали в параллелограмме АВСД, если АВ равно 3 см, АD равно 4 см и угол ВАД равен 60 градусов?

Чтобы найти длину диагонали в параллелограмме АВСД, мы можем использовать теорему косинусов. Она гласит:

\[С^2 = A^2 + B^2 - 2AB \cdot \cos(C)\]

где С - длина диагонали, A и B - длины сторон параллелограмма, а C - угол между этими сторонами.

В данной задаче у нас есть значения сторон АВ и АD, а также угол ВАД. Давайте подставим эти значения в формулу и найдем длину диагонали.

Первым шагом найдем длину стороны BC. Согласно свойствам параллелограмма, сторона BC равна стороне AD. Таким образом, BC = AD = 4 см.

Вторым шагом рассчитаем длину стороны AB. У нас есть две стороны и угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Подставим значения в формулу:

\[AB^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(60)\]

Рассчитаем правую часть этого уравнения:

\[AB^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \cos(60)\]

Мы знаем, что \(\cos(60) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[AB^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2}\]
\[AB^2 = 9 + 16 - 12\]
\[AB^2 = 13\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AB = \sqrt{13}\]

Теперь, когда у нас есть значения сторон AB, BC и угла между ними, можно рассчитать длину диагонали AC с помощью теоремы косинусов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(180)\]

Угол ACB равен 180 градусов, поэтому \(\cos(180) = -1\). Подставим значения:

\[AC^2 = (\sqrt{13})^2 + 4^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 4 \cdot (-1)\]
\[AC^2 = 13 + 16 + 8\sqrt{13}\]
\[AC^2 = 29 + 8\sqrt{13}\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{29 + 8\sqrt{13}}\]

Итак, длина диагонали AC в параллелограмме АВСД равна \(\sqrt{29 + 8\sqrt{13}}\) см.