Какова высота прямой треугольной призмы, у которой площадь полной поверхности равна площади полной поверхности куба

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

1. Пусть \(h\) - искомая высота призмы, \(l\) - длина основания призмы (катет прямоугольного треугольника), и \(w\) - ширина призмы (катет прямоугольного треугольника).

2. Для начала найдем площадь полной поверхности призмы. Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и трех боковых поверхностей. Площадь одной основы равна \((l \cdot w)\), а площадь боковой поверхности - \(2(l \cdot h) + 2(w \cdot h)\). Общая площадь полной поверхности призмы равна сумме этих двух значений: \(2(l \cdot w) + 2(l \cdot h) + 2(w \cdot h)\).

3. Теперь найдем площадь полной поверхности куба. У куба все его грани равны между собой, поэтому площадь полной поверхности куба равна \(6 \cdot a^2\), где \(a\) - ребро куба.

4. Из условия задачи дано, что площадь полной поверхности призмы равна площади полной поверхности куба. Поэтому мы можем приравнять соответствующие значения:

\[2(l \cdot w) + 2(l \cdot h) + 2(w \cdot h) = 6 \cdot a^2\]

5. Подставим известные значения из условия задачи: \(l = 10\), \(w = 24\) (расчеты об этом ниже), \(a = 12\):

\[2(10 \cdot 24) + 2(10 \cdot h) + 2(24 \cdot h) = 6 \cdot 12^2\]

6. Рассчитаем значение выражения и продолжим расчет:

\[480 + 20h + 48h = 6 \cdot 144\]

\[480 + 68h = 864\]

7. Вычтем 480 из обеих частей уравнения:

\[68h = 384\]

8. Разделим обе части на 68, чтобы найти значение \(h\):

\[h = \frac{384}{68} \approx 5.647\]

Таким образом, высота прямой треугольной призмы, у которой площадь полной поверхности равна площади полной поверхности куба, составляет примерно 5,647.