1) Подтвердите, что точки A(2, 1,0), B(0,4,-3), C(-2,3,-5), D(2,-3,1) образуют вершины трапеции. Определите длины

Конечно! Для того чтобы подтвердить, что точки A(2, 1, 0), B(0, 4, -3), C(-2, 3, -5), D(2, -3, 1) образуют вершины трапеции, нам необходимо проверить, есть ли пары параллельных сторон.

Первое основание трапеции можно образовать, соединив точки A и B. Второе основание можно образовать, соединив точки C и D.

Чтобы убедиться в параллельности этих сторон, мы можем вычислить векторы, образованные этими сторонами.

Вектор AB можно вычислить, используя следующую формулу:

\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 2, 4 - 1, -3 - 0) = (-2, 3, -3).\]

Вектор CD можно вычислить, используя формулу:

\[\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (2 - (-2), -3 - 3, 1 - (-5)) = (4, -6, 6).\]

Теперь мы можем проверить, являются ли векторы AB и CD параллельными. Для этого мы должны убедиться, что отношение между координатами векторов одинаково. Это означает, что координаты вектора AB должны быть пропорциональны координатам вектора CD.

Давайте рассчитаем эти отношения, разделив соответствующие координаты:

\[\frac{{-2}}{{4}} = \frac{{3}}{{-6}} = \frac{{-3}}{{6}}.\]

Все три соотношения равны между собой, значит, стороны AB и CD параллельны, что подтверждает, что точки A, B, C и D образуют вершины трапеции.

Для определения длин оснований трапеции, нам нужно вычислить расстояние между точками A и B, а также между точками C и D.

Расстояние между двумя точками можно вычислить, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}},\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

Расстояние между точками A и B:

\[d_{AB} = \sqrt{{(0 - 2)^2 + (4 - 1)^2 + (-3 - 0)^2}} = \sqrt{{4 + 9 + 9}} = \sqrt{{22}}.\]

Расстояние между точками C и D:

\[d_{CD} = \sqrt{{(2 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2 + (1 - (-5))^2}} = \sqrt{{16 + 36 + 36}} = \sqrt{{88}}.\]

Таким образом, длина первого основания AB составляет \(\sqrt{{22}}\), а длина второго основания CD составляет \(\sqrt{{88}}\).