Какова высота, опущенная на сторону треугольника, которая больше по длине, если известно, что две стороны треугольника

Для начала, давайте обозначим данную задачу. Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором AB=4 и AC=6. Давайте назовем высоту, опущенную из вершины B, h1, и высоту, опущенную из вершины C, h2.

Если мы хотим найти высоту, опущенную на сторону, которая больше по длине, нам нужно выяснить, опущена ли она из вершины B или из вершины C.

Для этого рассмотрим отношение построенных высот к сторонам треугольника. Если высота опущена из вершины B, она будет перпендикулярна стороне AC (по определению высоты). Таким образом, мы можем установить следующую пропорцию:

\(\frac{{h1}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

Подставим известные значения в данное уравнение:

\(\frac{{h1}}{{6}} = \frac{{BC}}{{4}}\)

Теперь давайте рассмотрим случай, когда высота опущена из вершины C. В этом случае высота будет перпендикулярна стороне AB (по определению высоты). Наша пропорция будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{{h2}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Подставим известные значения в это уравнение:

\(\frac{{h2}}{{4}} = \frac{{6}}{{BC}}\)

Теперь у нас есть две пропорции, и мы можем воспользоваться системой уравнений для нахождения неизвестных значений h1 и h2.

\[
\begin{align*}
\frac{{h1}}{{6}} &= \frac{{BC}}{{4}} \\
\frac{{h2}}{{4}} &= \frac{{6}}{{BC}}
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 4 и второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[
\begin{align*}
4 \cdot \frac{{h1}}{{6}} &= 4 \cdot \frac{{BC}}{{4}} \\
6 \cdot \frac{{h2}}{{4}} &= 6 \cdot \frac{{6}}{{BC}}
\end{align*}
\]

После упрощения уравнений получим:

\[
\begin{align*}
\frac{{4h1}}{{6}} &= BC \\
\frac{{6h2}}{{4}} &= 36
\end{align*}
\]

Упростим дроби:

\[
\begin{align*}
\frac{{2h1}}{{3}} &= BC \\
\frac{{3h2}}{{2}} &= 36
\end{align*}
\]

Из первого уравнения получаем:

\[
h1 = \frac{{3BC}}{{2}}
\]

Из второго уравнения получаем:

\[
h2 = \frac{{2 \cdot 36}}{{3}} = 24
\]

Теперь сравним значения h1 и h2. Если h1 больше, то наибольшая высота опущена из вершины B и равна \(\frac{{3BC}}{{2}}\). Если h2 больше, то наибольшая высота опущена из вершины C и равна 24.

Рассмотрим второй случай, когда h2 больше. В этом случае наибольшая высота равна 24.

Таким образом, ответ на данную задачу: наибольшая высота, опущенная на сторону треугольника, является высотой, опущенной из вершины C, и она равна 24.