Какова высота конуса, если известно, что площадь боковой поверхности конуса равна 135π квадратных единиц, а радиус

Чтобы определить высоту конуса, будем использовать формулу для площади боковой поверхности конуса:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности, \(\pi\) - математическая константа \(3.14159...\), \(r\) - радиус основания конуса и \(l\) - образующая конуса.

Дано:
\(S = 135\pi\) квадратных единиц,
\(r = 9\) единиц.

Подставим значения в формулу:

\[135\pi = \pi \cdot 9 \cdot l \]

Теперь упростим выражение:

\[135 = 9l\]

Для решения уравнения, разделим обе части на 9:

\[l = \frac{135}{9} = 15\]

Таким образом, образующая конуса \(l\) равна 15 единицам. Однако нам необходимо найти высоту конуса \(h\). Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора:

\[h^2 = l^2 - r^2\]

Подставим значения и решим:

\[h^2 = 15^2 - 9^2\]
\[h^2 = 225 - 81\]
\[h^2 = 144\]
\[h = \sqrt{144}\]
\[h = 12\]

Таким образом, высота конуса равна 12 единицам.

Также можно использовать формулу для объема конуса, чтобы найти высоту:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(h\) - высота.

Мы знаем, что \(S = 135\pi\), что равно площади основания конуса, и \(r = 9\). Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot h = 135\pi\]
\[81h = 135\]
\[h = \frac{135}{81}\]
\[h = \frac{5}{3}\]

Таким образом, высота конуса равна \(\frac{5}{3}\) единицы или 1 \(\frac{2}{3}\) единицы.

Ответ: Высота конуса равна 12 единицам или \(\frac{5}{3}\) единицы (1 \(\frac{2}{3}\) единицы).