Какова высота изображения предмета, находящегося на расстоянии 40 сантиметров от собирающей тонкой линзы, если

Для начала, давайте вспомним формулу оптической силы тонкой линзы:

\[ \text{Оптическая сила} = \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}}, \]

где \(\text{Ф}"\) - фокусное расстояние линзы воздуха, а \(\text{Ф}\) - фокусное расстояние линзы в среде.

В данной задаче, оптическая сила \(\text{ОС}\) линзы равна 4 диоптриям, поэтому:

\[ 4 = \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}}. \]

Далее, воспользуемся формулой \(\text{ОС} = \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}}\) для определения фокусного расстояния \(\text{Ф}"\) линзы воздуха. Поскольку воздух - среда линзы, то \(\text{Ф} = \text{Ф}"\). Следовательно, получаем:

\[ 4 = \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}"} = \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}"} = 0. \]

То есть \(\text{Ф}" - \text{Ф}" = 0\), отсюда получаем, что \(\text{Ф}" = \text{Ф}\) или фокусное расстояние воздуха равно фокусному расстоянию линзы в среде.

Теперь, чтобы найти высоту изображения предмета, воспользуемся формулой тонкой линзы:

\[ \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}} = \frac{1}{\text{b}} - \frac{1}{\text{a}}, \]

где \(\text{Ф}"\) - фокусное расстояние линзы воздуха, \(\text{Ф}\) - фокусное расстояние линзы в среде, \(\text{b}\) - расстояние предмета от линзы, а \(\text{a}\) - расстояние изображения от линзы.

В данной задаче предмет находится на расстоянии 40 сантиметров от линзы. Пусть \(\text{b} = 40\) см. Следовательно, у нас получается:

\[ \frac{1}{\text{Ф}"} - \frac{1}{\text{Ф}} = \frac{1}{40} - \frac{1}{\text{a}}. \]

Так как мы знаем, что \(\text{Ф}" = \text{Ф}\), т.е. фокусное расстояние воздуха равно фокусному расстоянию линзы в среде, мы можем записать:

\[ \frac{1}{\text{Ф}} - \frac{1}{\text{Ф}} = \frac{1}{40} - \frac{1}{\text{a}}. \]

Тогда получаем:

\[ 0 = \frac{1}{40} - \frac{1}{\text{a}}. \]

Находим обратное расстояние изображения \(\frac{1}{\text{a}}\):

\[ \frac{1}{\text{a}} = \frac{1}{40}. \]

Используя все это, мы можем найти высоту изображения. Воспользуемся формулой линзы:

\[ \text{Увеличение линзы} = \frac{\text{Высота изображения}}{\text{Высота предмета}} = -\frac{\text{a}}{\text{b}}, \]

где \(\text{Увеличение линзы}\) - отношение высоты изображения к высоте предмета. В нашем случае, у нас фокусное расстояние линзы воздуха равно фокусному расстоянию линзы в среде, поэтому находим:

\[ \text{Увеличение линзы} = \frac{-\frac{1}{\text{a}}}{-\frac{1}{\text{b}}} = \frac{\text{b}}{\text{a}} = \frac{40}{\text{a}}. \]

Исходя из этой формулы, получаем:

\[ \frac{40}{\text{a}} = \frac{1}{40}. \]

Теперь находим высоту изображения:

\[ \text{Высота изображения} = \text{Увеличение линзы} \times \text{Высота предмета} = \frac{40}{\text{a}} \times \text{Высота предмета}. \]

Так как у нас \(\text{Высота предмета}\) неизвестна, предлагаю сделать допущение, что \(\text{Высота предмета}\) равна 1, чтобы упростить вычисления.

\[ \text{Высота изображения} = \frac{40}{\text{a}} \times 1 = \frac{40}{\text{a}}. \]

Теперь, подставляем \(\frac{1}{40}\) вместо \(\frac{1}{\text{a}}\):

\[ \text{Высота изображения} = \frac{40}{\frac{1}{40}} = 40 \times 40 = 1600 \text{ сантиметров}. \]

Таким образом, высота изображения предмета, находящегося на расстоянии 40 сантиметров от собирающей тонкой линзы с оптической силой 4 диоптрия, равна 1600 сантиметров.